Zeige: Vektoren senkrecht aufeinander gdw für alle λ ∈ R gilt: ∥x + λy∥ ≥ ∥x∥

Question

Wie zeige ich die folgende Aussage ?

Zeigen Sie: Genau dann stehen zwei Vektoren x, y ∈ R^n senkrecht aufeinander, wenn für alle λ ∈ R gilt:
∥x + λy∥ ≥ ∥x∥.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vektoren Beweis senkrecht Ungleichung

Stichworte: vektoren,beweis,senkrecht

Wie zeige ich die beiden kleinen Aussagen ? Wie bei der dreiecksungleichung ? Kann mir jemand helfen ?

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EDIT: Hier fehlt irgendetwas. Bitte nochmals versuchen exakt abzutippen. 

Der klärender Kommentar (Bild) wurde in die Fragestellung aufgenommen.

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 Das wäre die aufgabe

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Vom Duplikat:

Titel: Zwei vektoren senkrecht aufeinader

Stichworte: vektoren,senkrecht

Zeigen Sie: Genau dann stehen zwei Vektoren x, y ∈ R^n senkrecht aufeinander, wenn
für alle $$ λ ∈ R .gilt: //x + λy// >= //x// $$

Answer 1

Zu zeigen ist: $$(1)\quad\langle x,y\rangle=0\Rightarrow\forall\lambda:\lVert x+\lambda y\rVert\ge\lVert x\rVert$$ $$(2)\quad\langle x,y\rangle\ne0\Rightarrow\exists\lambda:\lVert x+\lambda y\rVert<\lVert x\rVert$$ Beides kann man $$\lVert x+\lambda y\rVert^2=\lVert x\rVert^2+2\lambda\langle x,y\rangle+\lambda^2\lVert y\rVert^2$$ entnehmen.

Answer 2

   

für feste x, y ∈ ℝⁿ gilt (||...|| bzgl.Standardskalarprodukt) :

        \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k+λy_k)^2\)  ≥  \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔   √[ \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2+2λx_ky_k+λ^2y_k^2)\) ]  ≥  √[ \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\) ]    für alle λ∈ℝ

⇔    \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2+2λx_ky_k+λ^2y_k^2)\)  ≥  \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔    \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\) + 2λ\(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\) + λ²\(\sum\limits_{k=1}^{n} y_k^2\)    ≥ \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔     2λ\(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\) + λ²\(\sum\limits_{k=1}^{n} y_k^2\)  ≥  0     für alle λ∈ℝ

⇔_#     \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\)  =  0       ( Standardskalarprodukt x * y = 0 )

⇔      x ⊥  y

---------

#  Für  a ≥ 0   ist die Ungleichung   a·λ² + 2b·λ  ≥ 0   mit festen a,b ∈ ℝ genau für b=0  allgemeingültig. 

Gruß Wolfgang

Answer 3

Hallo Sandra, 

für feste x, y ∈ ℝn gilt (||...|| bzgl.Standardskalarprodukt) :

        \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k+λy_k)^2\)  ≥  \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔  √[ \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2+2λx_ky_k+λ^2y_k^2)\) ]  ≥  √[ \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\) ]    für alle λ∈ℝ

⇔    \(\sum\limits_{k=1}^{n} (x_k^2+2λx_ky_k+λ^2y_k^2)\)  ≥  \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔    \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\) + 2λ\(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\) + λ2\(\sum\limits_{k=1}^{n} y_k^2\)    ≥ \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2\)    für alle λ∈ℝ

⇔    2λ\(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\) + λ2\(\sum\limits_{k=1}^{n} y_k^2\)  ≥  0    für alle λ∈ℝ

⇔#    \(\sum\limits_{k=1}^{n} x_ky_k\)  =  0      ( Standardskalarprodukt x * y = 0 )

⇔      x ⊥  y

---------

#  Für  a ≥ 0  ist die Ungleichung  a·λ2 + 2b·λ  ≥ 0  mit festen a,b ∈ ℝ genau für b=0  allgemeingültig.

Gruß Wolfgang