Exponentielle Abnahme - Licht - Berechnen Sie, in welchen Tiefen die Intensităt zwischen 200 und 500 Watt/m liegt

Question

Aufgabe:

Laserstrahlen sind sehr intensive Licht- bzw. Wărmestrahlen, die auf einen winzigen Fleck gebündelt werden können. Sie werden auch in der Medizin immer häufiger verwendet. Ihre Intensităt nimmt mit der Eindringtiefe ins Gewebe exponentiell ab. In \( 6 \mathrm{~mm} \) Tiefe ist die Intensităt auf ca. \( 10 \% \) des ursprünglichen Werts abgesunken. Stellen Sie eine Intensitatsabnahmeformel auf. Bestimmen Sie die Intensităt in \( 2 \mathrm{~mm} \) Tiefe.

Berechnen Sie, in welchen Tiefen die Intensităt zwischen 200 und 500 Watt/m² liegt, wenn die Intensitat des Strahles beim Verlassen des Lasers 800 Watt/m \( ^{2} \) beträgt. Welche ursprüngliche Intensität muss der Laserstrahl besitzen, damit seine Intensität in \( 7 \mathrm{~mm} \) Tiefe noch \( 150 \mathrm{Watt} / \mathrm{m}^{2} \) beträgt.

Answer 1

I(x) = 0.1^{x/6}

I(2) = 0.1^{2/6} = 46.42%

I(x) = 800*0.1^{x/6} = 200
x = 6*ln(200/800)/ln(0.1) = 3.61 mm

I(x) = 800*0.1^{x/6} = 500
x = 6*ln(500/800)/ln(0.1) = 1.22 mm

I(7) = x*0.1^{7/6} = 150
x = 150/0.1^{7/6} = 2202 W/m^2

Comments

woher und wie leiten sie die formel ab ?

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Es sind doch alle Werte in der Aufgabelstellung gegeben

I0 soll sicher 1 sein bzw. 100%
I(0) = 0.1^0 = 1

I(6) soll 10 % sein also
I(6) = 0.1^6/6 = 0.1

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wie kommen sie auf die formel ?

mein mathe buch sagt:
exponetielles wachstum sowie abnahme:

Nt = N0*a^t

ich dachte ich muss irgendwie von der formel ausgehen. oder sind sie eh von der formel ausgegangen ?

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Wie genagt. N0 oder I0 ist hier 1.

Und manchmal ist es günstiger

a^t zu schreiben als b^{c*t}

Das habe ich hier gemacht.

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ok, kurze verständnis frage:

ich habe 1000 euro, pro jahr schrumpft der betrag um 5%.
wieviel habe ich dann nach 50 jahren ?


N50=1000*0,95^50 = 76,94

so würde ich es mit a^t rechnen.


wie rechne ich das aber mit b^c*t

so wie sie in diesem beispiel ? 
 

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Deine Rechnung ist richtig. Wie rechnest du folgendes ?

Ich habe 1000 €, alle 2 Jahre schrumpft der Betrag um 5%. 
Wie viel habe ich dann nach 50 Jahren ?

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N2=1000*0,95^2 = 902,5

aber ich hab hier die form: N(x)=N0*a^x

mir ist nicht klar warum ich bei einem beispiel wo es auch um zerfall ich nun diese formel verwenden muss bzw. wie ich auf diese komme:

I(x) = 0.1<sup>x/6


woher kommt das dividiert zeichen ?</sup>

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Du hast hier auch verkehrt gerechnet
N(50) = 1000*0.95^{50/2} = 277.39 Euro

Das geteilt durch kommt immer wenn der Faktor nicht pro Zeiteinheit auftritt sondern für eine Zeitperiode gilt.

Also z.B. schrumpft der Betrag nicht jedes Jahr um 5% sondern nur auf 2 Jahre gesehen um 5%.

Typisch z.B. die Bakterienanzahl verdoppelt sich jede Woche. Anzugeben ist die Bakterienzahl als Funktion in Abhängigkeit von t in Tagen.

B(t) = B0 * 2^{t/7}

Da die Verdopplung nur alle 7 Tage stattfindet muss man eigentlich die Tage in Wochen umrechnen und damit durch 7 teilen.