mal angenommen, es gibt eine sinnvolle Lösung, dann sei \(y\) als Potenzreihe darstellbar - also:
$$y= \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot x^{k}$$ dann ist \(y'\)
$$y' =\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot k \cdot x^{k-1} = \sum_{j=0}^{\infty} a_{j+1} \cdot (j+1) \cdot x^j \quad \text{mit }k=j+1$$ Einsetzen in die DGL gibt
$$y' + y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot x^{k} + \sum_{j=0}^{\infty} a_{j+1} \cdot (j+1) \cdot x^j = x +1$$ $$\sum_{k=0}^{\infty} \left( a_k \cdot x^{k} + a_{k+1} \cdot (k+1) \cdot x^k \right)= x +1$$ $$\sum_{k=0}^{\infty} \left( a_k + a_{k+1} \cdot (k+1) \right) \cdot x^{k} = x + 1 $$
$$(a_0 + a_1) + x(a_1 + 2a_2) + x^2(a_2 + 3a_3) + ... + x^n(a_n + n a_{n+1}) + ... \\ \space = 1 + x$$
Aus dem Koeffizientenvergleich erhält man
$$ \begin{aligned}a_0 + a_1 &= 1 \quad \Rightarrow a_1 = 1-a_0 \\a_1 + 2a_2 &= 1 \quad \Rightarrow a_2 = \frac12a_0 \\ a_2 + 3a_3 &= 0 \quad \Rightarrow a_3 = - \frac13 \cdot \left( \frac12 a_0\right) = \frac{-1}{2 \cdot 3} a_0\\ a_3 + 4 a_4 &= 0 \quad \Rightarrow a_4 = - \frac14 \left( \frac{-1}{2 \cdot 3} a_0\right) = \frac{1}{4!} a_0\\ a_{n-1} + n a_{n} &= 0 \quad \Rightarrow a_n = -\frac{1}{n} a_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!}a_0 \end{aligned}$$
Alles zusammen fassen
$$\begin{aligned}y &=\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot x^{k} \\&= a_0 + (1 - a_0)x + a_0 \cdot \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^k \\&= x + a_0\left( 1 - x +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^k \right) \\&= x + a_0 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^k}{k!} \\&= x + a_0 \cdot e^{-x}\end{aligned}$$ siehe auch Exponentialfunktion.
Gruß Werner
