zu 2) es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit 13 Unbekannten und 12 Gleichungen, ist also unterbestimmt. Die zusätzliche Bedingung, dass die Unbekannten \(A\) bis \(M\) natürliche Zahlen von 1 bis 13 sind, reicht für eine eindeutige Lösung. Das könnte man jetzt nach Gaußverfahren lösen, ist aber viel Schreibarbeit. Es geht auch etwas einfacher
ich streiche zunächst die drei Gleichungen, in denen \(K\), \(L\) und \(M\) vorkommen. Denn diese kommen nur jeweils einmal vor. Bleiben 10 Unbekannte mit 9 Gleichungen. \(A\) und \(C\) kommen nur zweimal vor, das fasse ich gleich zusammen - es bleibt:
H = D + J
J = F - D - 2G
E = D + J + G
B = E + I
I = H + J
B = F - J
F = D + E + H
Die beiden mit \(B\) fasse ich zusammen und \(H\) setze ich gleich ein
J = F - D - 2G
E = D + J + G
F - J = E + I
I = D + 2J
F = 2D + E + J
Jetzt die letzte beiden mit \(F\) und \(I\) in die ersten drei einsetzen
0 = D + E - 2G
E = D + J + G
D = 2J
\(J\) lasse ich stehen und setze es rückwärts überall ein. \(D=2J\) steht dort schon. Aus den ersten beiden Gleichungen eliminiere ich vorher noch \(E\) - und es folgt daraus:
G = 5J
... jetzt zurück
E = D + J + G = 2J + J + 5J = 8J
mit der Zusatzbedingung oben, bleibt für \(J\) jetzt nur noch die 1 übrig. Es ist also \(J=1\), \(D=2\), \(G=5\) und \(E=8\) - weiter geht's:
I = D + 2J = 2 + 2 = 4
F = E + I + J = 8 = 8 + 4 + 1 = 13
H = D + J = 2 + 1 = 3
B = E + I = 8 + 4 = 12
A = D + E = 2 + 8 = 10
C = F - D - G = 13 - 2 - 5 = 6
... und die letzten drei schaffst Du alleine!
Gruß Werner
