Question

Beweise |x|>=0; |x| = 0 <=> x = 0

Ich verstehe nicht wozu es den ersten Teil gibt und was das Simikolon besagt |x|>=0;. |x| ist definiert durch max{x;-x} in meinem Buch also kann |x| nicht negativ sein. Meiner Meinung nach reicht es  |x| = 0 <=> x = 0 zu schreiben.

Answer 1

" |x|>=0; |x| = 0 <=> x = 0"

Wenn überhaupt mit dem Semikolon etwas gemeint ist, dann meist das logische 'oder'.

Ein Komma würde in dieser Schreibweise für 'und' stehen.

'oder' macht allerdings ohne weiteren Zusammenhang in dieser Zeile nicht viel Sinn.  Es müsste, wenn schon 'und' heissen oder die Klammerung ist

so:  |x|>=0; (|x| = 0 <=> x = 0)

und nicht so:( |x|>=0; |x| = 0 ) <=> x = 0

zu lesen.

Da musst du dich mal um die Präferenzregeln (Klammerregeln) in deinem Lehrbuch kümmern. Sollten irgendwo angegeben sein.

Comments

Ich habe keine Präferenzregeln in meinem Buch gefunden. Hier nochmal die Aufgabe:

Wie soll ich die Aufgabe letztendlich interpretieren?

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Das Simikolon ist glaub' ich einfach als Listentrennzeichen gemeint.

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Und was heißt das jetzt? Im Prinzip (|x| >= 0 und |x|=0) <=> x=0? Wenn ja, warum hat der Autor nicht einfach geschrieben  |x| = 0 <=> x = 0?

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Mehr kann ich nicht sagen:

Es müsste, wenn schon 'und' heissen oder die Klammerung ist

so:  |x| ≥ 0; (|x| = 0 <=> x = 0)

Wolframalpha vermutet, dass der Strichpunkt ein Komma ist, kann aber mit der Äquivalenz nichts anfangen. (also 'und') 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7Cx%7C≥+0%3B+%7Cx%7C+%3D+0+if+and+only+if+%28x+%3D+0%29

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In 2.4 steht zuerst, dass der Betrag nie kleiner als 0 ist. Zudem steht da noch, dass der Betrag einer Zahl / eines Vektors …x  genau dann 0 ist, wenn x selbst 0 ist.

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Es sind zwei getrennte Eigenschaften der Betragsfunktion:

1. |x| >= 0, für alle x aus R.

2. |x| = 0 genau dann, wenn x = 0

MfG

Mister

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Vielen Dank Leute, aber keiner hat mir eigentlich gesagt wozu hat der Autor dieses |x|>= 0 aufgeschrieben hat.


Ich kann doch beweisen |x| = 0 < = > x = 0.

Beweis:

=>:

|x| = 0 <=> 0 = max(x, -x) das bedeutet 0 = x oder -x = 0. Ich habe beretis bewiesen, dass 0 = -x <=> x = 0 und das beendet den Beweis =>.

<=:

x = 0 und jetzt benutze ich die Tatsache, dass 0 = -x <=> x = 0 also max(x,-x) = 0 und dass ist dann |x| = 0.


Ich habe nirgendwo die Bedingung |x| >= 0 benutzt.

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Richtig, weil das Simikolon, um das nochmal in aller Deutlichkeit zu sagen, die Aussagen voneinander trennt. Wie könnte denn aus x > 0 folgen, dass x = 0?

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Ahsooo, ich habe zwei Aussagen so wie du vorher gesagt hast. Erst jetzt habe ich das verstanden :D.

Ok, die zweite habe ich bewiesen. Jetzt muss ich noch |x|>=0 für alle x Elemente R beweisen.

Beweis:

|x| = max(x, -x) =: z. Angenommen unser Maximum z < 0 (wobei z = -x oder z = x). Dann ist -z > 0. Das bedeutet

Fall1) (z = -x):  -z = x > 0 und z < 0 < x. Unser Maximum x ist also >0 und das ist ein Widerspruch mit unser Anname.
Fall2) (z = x): z = x < 0, das heisst -x > 0, unser Maximum ist also >0 wieder Widerspruch.

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Bei "z < 0 < x" ist der Widerspruch auch direkter ablesbar, denn ist z das Maximum von x und -x, dann kann es nicht echt kleiner als x sein, denn es ist ja das Maximum von x und -x, das heißt z >= ±x. In x <= z < x entsteht dann mit x < x der Widerspruch.