Natürlicher Logarithmus/ Lagrange mit zwei verschiedene Multiplikatoren

Question

ich habe folgende Rechnung gegeben und komme nicht auf das Ergebnis, ich komme zwar mit der Lagrange methode bis zum Einsetzen in die dritte Bedingung jedoch macht mich der Logarithmus platt.
Könnte mir jemand erklären wie ich bei so einer Gleichung nach x1 oder x2 auflösen kann?

Die Fragestellung lautete so:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )=80·ln( x1 )+20·ln( x2 ). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=4 und p2=9. Minimieren Sie die Kosten des Individuums, wenn ein Nutzenniveau von 520 erreicht werden soll.
Wie hoch ist die Menge x1 in diesem Kostenminimum?
Die richtige Antwort beträgt: 281,31

Answer 1

L = 4·x + 9·y + k·(80·LN(x) + 20·LN(y) - 520)

L'x = 80·k/x + 4 = 0

L'y = 20·k/y + 9 = 0

L'k = 80·LN(x) + 20·LN(y) - 520 = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: x = 281.3065262 ∧ y = 31.25628069 ∧ k = -14.06532631

Comments

Ist die Nutzenfunktion nicht die Nebenfunktion?

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Ja. Die Nutzenfunktion ist die Nebenfunktion und 80·LN(x) + 20·LN(y) - 520 = 0 die Nebenbedingung.

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achso ja gut das hab ich, aber mit dem auflösen hab ich Probleme, kann ich die zwei Werte 80·LN(x) + 20·LN(y) zusammenzählen oder wie löse ich hier auf?

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Ich würde zunächst aus den anderen Gleichungen k eleminieren.

Du erhältst x = 9·y

Das hätte ich dann in die 3. Gleichung eingesetzt

80·LN(9·y) + 20·LN(y) - 520 = 0

4·LN(9·y) + LN(y) - 26 = 0

4·(LN(9) + LN(y))+ LN(y) - 26 = 0

4·LN(9) + 4·LN(y) + LN(y) - 26 = 0

4·LN(9) + 5·LN(y) - 26 = 0

4·LN(3^2) + 5·LN(y) - 26 = 0

8·LN(3) + 5·LN(y) - 26 = 0

5·LN(y) = 26 - 8·LN(3)

LN(y) = 5.2 - 1.6·LN(3)

y = e^{5.2 - 1.6·LN[3]} = 31.25628069