Question

Gegeben ist die Funktion f:x↦|(1/2)*(x)²-2| D=R             (Ableitungen  ohne Ableitungsregeln, lim x→x0 verwenden)

Bestimmen sie die Intervalle in der die Ableitungsfunktion existiert und geben Sie die Ableitungsfunktion der einzelnen Intervalle an.

Habe keinen Lösungsansatz und wäre sehr dankbar, wenn sie mir mit einer detaillierten Lösung helfen könnten.

mfG

Thommy093

Comments

Du sollst also die Ableitung bestimmen?  Die Funktion ist: f(x)=1/2x^2-2 oder?

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Ich glaube ja, und dann die Intervalle bestimmen

mfG

Thommy093

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Wie die Intervalle bestimmen? Meinst du, wo die Funktion fällt und wo sie steigt?

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Die Intervalle vorm und nach dem "Knick"

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Ok, und das mit dem Differenzenquotienten.

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Genau, so sind die Angaben seitens der Lehrerin

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Du solltest dir die Antwort nochmal genauer ansehen.

Answer 1

$$f´(x)=\lim_{h\to0}\frac{(\frac{1}{2}\cdot {(x+h)}^{2}-2)-(\frac{1}{2}x^2-2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1/2(x^2+2xh+h^2)-2)-1/2x^2+2}{h}=\lim_{h\to0} \frac{1/2x^2+xh+1/2h^2-1/2x^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{xh+1/2h^2}{h}=\lim_{h\to0}x+1/2h=x\\f´(x)=x$$

Jetzt:

$$ f´(x)=0\\x=0=0$$

Wenn f´(x)≤0, dann fällt der Graph, wenn f´(x)≥0; dann steigt der Graph.

Intervalle: 

$${I}_{1}=(-\infty;0)\\{I}_{2}=(0;\infty) $$

Aus den Intervallen setzt du nun einen Wert jeweils ein.

Die Lösung wird sein: I₁  =Streng monoton fallend und in I₂=Streng monoton steigend

Ich hoffe, das hilft weiter

Smitty

Comments

Betrag\(\)?
x = 0 = 0 ?

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Damit wollte ich sagen, wenn man für x Null einsetzt, dann kommt 0 raus.

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@smitty

Wichtiger war die Frage "Betrag?" von nn.

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Dann dürfte es statt einem Tiefpunkt, einen Hochpunkt geben, bei P(0|2) Und die Intervalle sind  dann I1=(-unendlich|-2);I2=(-2;0);I3=(0;2);I4=(2;unendlich)

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~plot~ abs(1/2x^2-2) ~plot~

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> ...  Intervalle sind  dann I1=(-unendlich|-2); I2=(-2;0); I3=(0;2); I4=(2;unendlich)

Warum sollte die Funktion in x=0 nicht differenzierbar sein? 

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Ich habe diese Klammern gesetz "()", da man so sagen kann, dass es streng monoton steigt, bzw. fällt. oder was meinst du?

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Müsste dann die Ableitungsfunktion nicht auch anders sein?

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Gefragt war doch

Bestimmen sie die Intervalle in denen die Ableitungsfunktion existiert ...

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Sie müsste im Intervall I=[-2;2] genau umgekehrt sein, nur weiß ich nicht ,wie man das macht.

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achja, Wolfgang, war noch bei meinen Hausaufgaben ;) Dort haben wir gerade das Thema

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In den Bereichen, in dem der Term in einem Betrag 

≥ 0  ist, kann man den Betrag einfach weglassen

< 0 ist, kann man | | weglassen, wenn man ein Minus vor den Term schreibt.

Dann kannst du (außer in x=±2) jeweils einfach ableiten.