Funktionen und Intervalle

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion f ist im Intervall I = [-3,3] gezeichnet. Was lässt sich über das Vorzeichen  der ersten und zweiten Ableitung in I aussagen? Begründen Sie.

Problem/Ansatz:

Also bei a habe ich rausbekommen, dass sowohl die erste als auch die zweite Ableitung positiv sind aber so richtig erklären kann ich es nicht weil ich die Aufgabe einfach nicht verstehe. Was soll es denn zu bedeuten haben?

Answer 1

a)  von -3 bis 0 ist die erste Ableitung positiv, da der Graph steigend ist

danach negativ, wegen des Fallens.

2. Ableitung durchgehend negativ, weil  Rechtskurve.

Answer 2

Die erste Ableitungsfunktion f'(x) einer Funktion f(x) gibt den Anstieg der Tangenten an die Funktion (bzw. den "momentanen Anstieg der Funktion selbst") an. Die zweite Ableitungsfunktion f''(x) gibt die Änderung des Anstieges der Tangenten an die Funktion f(x) an einem bestimmten Punkt an.

Bei a) ist f(x) monoton steigend für

$$-3<=x<0$$

Somit ist f'(x)>0 in diesem Intervall [-3,0).

Für

$$3>=x>0$$

ist f(x) sichtlich monoton fallend, d.h. f'(x)<0 in (0,3].

Da der Anstieg der Tangenten an f(x) tendenziell immer weiter abnimmt (monoton steigend -> immer stärker monoton fallend) bis x=3, muss f''(x)<0 in [-3,3] sein.

Bei x=0 besitzt f(x) einen Hochpunkt, somit ist f'(x)=0, gleichermaßen ist f''(x)<0.