Größtmögliche Intervalle / Monotonie

Question

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Aufgabe 5 (4 Punkte) Gegeben sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x^{3}+6 x^{2}+13 x-23 \).
a) Man bestimme jeweils die größtmöglichen Intervalle, in denen \( f \) monoton ist.
b) Man begründe, dass es genan ein reelles \( x \) mit \( f(x)=0 \) gibt.

Answer 1

Es ist f ' (x) = 3x^2 + 12x +13 =

3*((x+2)^2 + 1/3 )>  0 für alle x∈ℝ.

Also f streng monoton steigend über ℝ, dann ist das größtmögliche

Intervall, über dem f monoton ist ]-∞ ; ∞[.

Und weil \( \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) und \( \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \infty \)

gibt es jedenfalls ein x mit f(x)=0 und wegen der strengen Monotonie genau eines.

Comments

f ' (x) = 3x^2 + 12x +13 = (x+2)^2 + 1/3

Aha. \((x+2)^2+\frac{1}{3}=x^2+4x+4+\frac{1}{3}\). Gleich sieht das aber nicht aus.

Entweder hast du den Faktor 3 vergessen oder du hast vorher vergessen aus dem = ein > zu machen. Den Faktor 3 muss man aber auch nicht weglassen, weil man auch so sieht, dass der Term immer größer als 0 ist. Oder man begründet, dass es eine Parabel ist, deren Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt und die nach oben geöffnet ist.

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Habe korrigiert.