Aufgabe:
Sei f : R → R definiert durch f(x) = exp(cos(x)) für alle x ∈ R.
Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist, beziehungsweise streng monoton fallend ist. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass cos |[kπ,(k+1)π] injektiv ist für alle k ∈ Z.
(Hierbei ist π = 3, 14... ist die sogenannte Kreiszahl.) Die Intervallränder sind genau die
Nullstellen des Sinus und cos(kπ) = {1, falls k gerade
-1, falls k ungerade}
Problem/Ansatz:
Ich bin bei dieser Aufgabe ziemlich ratlos und möchte Euch um Hilfe bitten. Ich trage mal zusammen, was mir zu einzelnen Aspekten einfällt, und vielleicht kann mir jemand helfen, etwas Sinnvolles zu formulieren.
- ich könnte den Ausdruck logarithmieren: f(x) = ln f(x) = cos (x)
- relatives Maximum von cos (x) = xk = k* 2π
- relatives Minimum von cos (x) = xk = π + k * 2π
- f(x) ist streng monoton
- Nullstellen cos(x) = xk = π/2 + k*π
- Die Intervalle müssten ja gleich sein - d.h., von Maximum zu Minimum und umgekehrt
- Gibt es überhaupt Nullstellen? Da cos(x) im Exponenten steht; ich hätte doch den regelmäßigen Verlauf, also bei x=0 ein Maximum, und dann in den Intervallen (bei cos (x) π/2, π, 3/2π und 2π) abwechselnd Minimum und Maximum?
Leider ist das schon alles, und sehr allgemein, ich weiß. :-)
