a) f(x) = 4x + x^{2}
Falls du noch nicht ableiten kannst, kannst du hier einfach den Scheitelpunkt ausrechnen.
d) f(x) = 1/8 x^4 + 4x
Hier ist die Ableitung das einfachste.
f '(x) = 1/8 * 4 * x^3 + 4
= 1/2 x^3 + 4
Nun die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
1/2 x^3 + 4 = 0
1/2 x^3 = - 4
x^3 = -8
Nun weisst du bestimmt (-2)^3 = -8
D.h. x = -2.
Die reelle Achse wird durch x = -2 in zwei Intervalle aufgeteilt. Links und rechts von x = -2 ändert die Steigung das Vorzeichen nicht mehr. Berechne die Steigung an einer Steller rechts und an einer Stelle links von x = -2.
Bsp. f ' (0) = 1/2 0^3 + 4 = 4 > 0
und f ' (-3) = 1/2 (-3)^3 + 4 = -13.5 + 4 < 0
Darum
Links von x = -2 ist f streng monoton fallend, rechts von x = -2 ist f streng monoton steigend.
In (-unendlich, -2] ist f streng monoton fallend und im Intervall [-2, unendlich) ist f streng monoton steigend.
Skizze: ~plot~ 1/8 x^4 + 4x; x = -2 ~plot~
Beide Intervalle sind übrigens gleich gross. Für unendlich gelten die "normalen" Rechenregeln nicht. Z.B. ist " unendlich + 1 = unendlich "