Es seien I, J ⊂ ℝ Intervalle und f: I → J eine streng monotone, konvexe und differenzierbare Funktion. Zeigen Sie:

Question

Seien I, J ⊆ R Intervalle und f : I → J eine streng monotone, konvexe und differenzierbare Funktion. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) f ist streng monoton fallend ⇒ f^{-1} ist konvex

b) f ist streng monoton wachsend ⇒ f^{-1} ist konkav

Answer 1

eine Antwort zu dieser Frage lässt sich in Wikipedia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen#Umkehrfunktionen finden:

Da \( f \) konvex ist, gilt

\( f(t x + (1-t) y) \leq t f(x) + (1-t) f(y) \).

Da \( f \) invertierbar ist, ist \( f(x) \) eindeutig für alle \( x \). Wähle \( u = f(x) \) und \( v = f(y) \). Dann ist

\( f(t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v)) \leq t u + (1-t) v = f(f^{-1}(tu + (1-t) v)) \).

Ist nun \( f \) streng monoton fallend, so gilt

\( t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \geq f^{-1}(tu + (1-t) v) \),

das heißt, \( f^{-1} \) ist konvex.

Ist \( f \) streng monoton wachsend, so gilt

\( t f^{-1}(u) + (1-t) f^{-1}(v) \leq f^{-1}(tu + (1-t) v) \),

das heißt, \( f^{-1} \) ist konkav.

Mister