Untersuche sie mit dem Monotoniekriteritum die Funktion f auf Monotonie-Intervalle.

Question

Aufgabe:

Untersuche sie mit dem Monotoniekriteritum die Funktion f auf Monotonie-Intervalle.

f(x)= x-e^-2x

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man diese Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Über das Monotonieverhalten einer Funktion$$f(x)=x-e^{-2x}$$gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=1-e^{-2x}\cdot(-2)=1+2e^{-2x}>1$$Da die Exponentalfunktion \(e^\cdots\) stets positiv ist, ist \(f'(x)>1\), also positiv.

Die Funktion \(f(x)\) ist daher auf ganz \(\mathbb R\) streng monoton wachsend.

~plot~ x-e^(-2x) ; [[-1|10|-5|10]] ~plot~

Comments

Muss man nicht f' null setzen, damit man weiß ob kleiner oder größer null?

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Streng genommen schon, aber \(e^{-2x}\) ist immer \(>0\). Wenn du dann noch \(1\) dazu addierst, ist das immer \(>1\). Daher ist$$f'(x)=1+2e^{-2x}>1$$sogar immer größer \(1\). Daher kannst du dir das Nullsetzen sparen. Die Ableitung kann ja nicht gleich Null werden, weil sie immer größer als 1 ist. Das heißt, die Funktion ist streng monoton wachsend.

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Kurzer Hinweis: An der Stelle \(1+2^{-2x}>1\) scheint ein \(e\) zu fehlen.

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Danke dir... Habe es ergänzt ;)