Größtmögliche Intervalle / Monotonie

Question

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Aufgabe 5 (4 Punkte) Gegeben sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=x^{3}+6 x^{2}+13 x-23$.
a) Man bestimme jeweils die größtmöglichen Intervalle, in denen $f$ monoton ist.
b) Man begründe, dass es genan ein reelles $x$ mit $f(x)=0$ gibt.

Answer 1

Es ist f ' (x) = 3x² + 12x +13 =

3*((x+2)² + 1/3 )>  0 für alle x∈ℝ.

Also f streng monoton steigend über ℝ, dann ist das größtmögliche

Intervall, über dem f monoton ist ]-∞ ; ∞[.

Und weil $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ und $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$

gibt es jedenfalls ein x mit f(x)=0 und wegen der strengen Monotonie genau eines.

Comments

f ' (x) = 3x^2 + 12x +13 = (x+2)^2 + 1/3

Aha. $(x+2)^2+\frac{1}{3}=x^2+4x+4+\frac{1}{3}$. Gleich sieht das aber nicht aus.

Entweder hast du den Faktor 3 vergessen oder du hast vorher vergessen aus dem = ein > zu machen. Den Faktor 3 muss man aber auch nicht weglassen, weil man auch so sieht, dass der Term immer größer als 0 ist. Oder man begründet, dass es eine Parabel ist, deren Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt und die nach oben geöffnet ist.

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Habe korrigiert.