Extremstellen von f(x)=sin(x) und f(x)=cos(x) bestimmen

Question

bei den oben genannten Funktionen schaffe ich es nicht, die Hoch- und Tiefpunkte zu bestimmen.

Für f(x)=sin(x) sollen alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2pi und für f(x)=cos(x) im Intervall von -pi bis +pi bestimmt werden.

Ich habe jeweils die erste Ableitung gebildet und diese dann nullgesetzt und erhalte für cos(x_E) = 0 x_E=90 und für -sin(x_E)=0 x_E= 360. Was hat das mit den gegebenen Intervallen zu tun und wie muss ich fortfahren? Normal würde ich jetzt die hinreichende Bedingung anwenden und die zweite Ableitung bilden und dann die Hoch- und Tiefpunkte berechnen, aber wie ich es bisher gemacht habe, ist es doch falsch, oder?

Könnte mir bitte jemand helfen?

Liebe Grüße

Comments

Achte darauf das Gradmaßangaben wie 90 und 360 hier nichts zu suchen haben. Die Funktionen werden im Bogenmaß gerechnet.

Answer 1

Den Verlauf der Sinus- und Kosinus-Funktion darf man auswendig wissen:

Comments

Wenn ich meinen TR auf Bogenmaß umstelle, erhalte ich für cos (x_E)=0 x_E=1. Was sagt mir dieser Wert? An der Stelle x=1 ist doch gar kein Extremum?

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Was hast du genau eingetippt um 1 zu erhalten ?

Für f(x)=sin(x) sollen alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2pi und für f(x)=cos(x) im Intervall von -pi bis +pi bestimmt werden.

Sinus-Funktion

SIN(1/2·pi) = 1 --> HP(1/2·pi | 1)

SIN(3/2·pi) = -1 --> TP(3/2·pi | -1)

Cosinus Funktion

COS(- pi) = -1 --> TP(-pi | -1)

COS(0) = 1 --> HP(0 | 1)

COS(pi) = -1 --> TP(pi | -1)

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f `(x_E)= cos (x)

0= cos(x_E)

cos(0)= 1

Ich habe gerade gesehen, dass ich, wenn ich cos^-1(0) eintippe, 1/2pi erhalte. Das ist dann wahrscheinlich erst falsch gewesen. Wie bestimme ich dann das zweite Extremum in dem gegeben Intervall?

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Zwei Hochpunkte bzw. zwei Tiefpunkte haben den Abstand von Δx = 2·pi.

Ein Hochpunkt hat vom nächsten Tiefpunkt den Abstand Δx = pi.

cos(x) = 0

x = ± cos^{-1}(0) + k·2·pi = ± pi/2 + k·2·pi

In diesem Fall kannst du das k·2·pi vernachlässigen. Damit würdest du alle möglichen Lösungen erhalten.

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Eine Frage habe ich noch: Ich weiß ja jetzt, dass ich bei pi/2 und -pi/2 Hoch- bzw. Tiefpunkte habe, aber wie mache ich das für das gegebene Intervall? Also wie schreibt man das korrekt auf? 

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Es langt

x = -pi/2 oder x = pi/2

Wobei für die Punkte hier noch die y-Koordinate erwähnung finden sollte.

Wie gesagt sollte man die Funktionen und deren Verlauf kennen. Dann hätte ich einfach geschrieben

Sinus-Funktion

SIN(1/2·pi) = 1 --> HP(1/2·pi | 1)

SIN(3/2·pi) = -1 --> TP(3/2·pi | -1)

Cosinus Funktion

COS(- pi) = -1 --> TP(-pi | -1)

COS(0) = 1 --> HP(0 | 1)

COS(pi) = -1 --> TP(pi | -1)