Steckbrief: Warum ist bei Sattelpunkt aber nicht bei Wendepunkt die erste Ableitung Null?

Question

Steackbrief

Gegegeben: 4Grades , im Koordiantenursprung einen Sattelpunkt, Wendepunkt (1/1)

Demzufolge die Angaben für den Sattelpunkt

f'(0) = 0
f''(0) = 0
f(0) = 0

Wendepunkt

f"(1) = 0
f(1) = 1

Ich frage mich nun warum man bei der Angabe des Sattelpunktes die erste Ableitung 0 setzen kann (muss ) !

Wäre der Sattelpunkt (2/2) würden die funktionen wie folgt lauten

f'(2) = 0
f''(2) = 0
f(2) = 2

f(2) = 2 verstehe ich wie auch f''(2) = 0 da man ja bei der 2 Ableitung durch 0 setzen den x wert bekommt und diesen in der Ausgangsfunktion einsetzen kann um y zu bekommen.

Aber warum kann ( muss ) man auch die erste Ableitung 0 setzen ? Die 2 Ableitung ist ja für Extrempunkte.

Was hat die erste Ableitung mit dem Sattelpunkt zu tun ? Bei der Angabe des Wendepunktes benutze ich ja auch nur die Ausgangsfunktion und die 2 Ableitund jedoch nicht die 1 .

Bei der 2 Ableitung bekomme ich ja den x wert wenn ich diese 0 setze. Erst mit der 3ten Ableitung kann ich errechnen ob es sich um ein Wende oder Sattelpunkt handelt.

Also meine Frage ist warum 1 Ableitung =0 wenn es sich um einen Sattelpunkt handelt jedoch nicht bei einem Wendepunkt ?

Ich hoffe jemand kann mir dies erklären.

Answer 1

bei einem Sattelpunkt ist die Steigung 0. Also eine waagerechte Tangente. Um zu wissen, wo das ist, ist die notwendige Bedingung f´(x)=0. Bei einem Wendepunkt ist die Steigung nicht Null.

Ich hoffe die Kurze Erklärung reicht. Sonst frag in den Kommentaren.

Smitty

Comments

Perfekt ! Hat schon gereicht.

Danke :)

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@Smitty

> Bei einem Wendepunkt ist die Steigung nicht Null. 

Da ein Sattelpunkt auch ein (besonderer) Wendepunkt ist, hast du dich da sehr unvorsichtig ausgedrückt :-)

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Falsch, ein Wendepunkt kann auch eine waagerechte Tangente haben, also die Steigung null. Dann wären beide Bedingungen erfüllt, also f1(x)=0 und f3(x) ungleich 0.

Damit ein Wendepunkt vorliegt ist es jedoch egal, ob die erste Ableitung gleich 0 oder nicht ist. Das ist nur für den Sattelpunkt wichtig.

Denn für den Wendepunkt ist es nur wichtig, dass dieser nur in einem Punkt ist. Wenn es nur einen Punkt mit der geringsten oder höchsten Steigung gibt (Definition Wendepunkt), ja auch null ist möglich, dann ist die 3. Ableitung IMMER ungleich null (Kriterium Wendepunkt). Wenn es jedoch mehrere Punkte mit der höchsten oder geringsten Steigung gibt (Flach- oder Sattelpunkte), dann ist es kein Wendepunkt mehr, da die 3. Ableitung (und ALLE anderen Ableitungen auch) an dieser Stelle automatisch gleich 0 wird. Das kann man sich mal skizzieren auf einem Schmierblatt. Dann sieht man sehr deutlich, dass das alles immer so sein MUSS.

Also wie gesagt, es gibt eben auch Wendepunkte die gleichzeitig auch Sattelpunkte sind und andersrum (das ist dann derselbe Fall). Dann erfüllen sie eben beide Kriterien also das für die 3. und das für die 1. Abeitung. Aber ein Wendepunkt kann auch Wendepunkt sein ohne waagerechte Tangente. Deswegen ist 1. Ableitung egaaal. :)

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@smitty der Kommentar war an Dich gerichtet sorry! Aber der Rest war natürlich richtig :)

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Kommentar hat sich erledigt