Polynominterpolation mit 19 Stützpunkten

Question

ich habe verschiedene Datenpunkte (x | y ,mit x fortlaufend) und möchte versuchen eine
Funktion zu approximieren. Insgesamt habe ich 19 Datensätze, also 19 Stützpunkte.
Das Polynom wird ziemlich groß aber... anfangs passt das interpolationspolynom p(x) überhaupt nicht aber so ziemlich in der Mitte perfekt, zum Ende dann wieder überhaupt nicht (siehe Grafik)...

Gibt es da irgendwelche Tricks oder Tipps? Warum reißt das Polynom anfangs- und am Ende so aus?

"mulde.dat" wurden die Punkte mit einer "Spline" verbinden (kann man daraus denn keine funktion heraus bekommen?)

f(x) = p(x) mit den ausreißern

Comments

Stell einmal die 19 Stützpunkte ein.
Dann kann man vielleicht eine Funktion
oder gesplittete Funktion ermitteln.

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Gib die Funktionsgleichung an.

> also 19 Stützpunkte. 

Nenne einen der 19 Stützpunkte, an dem der Funktionwert abweicht.

 

Answer 1

wurden die Punkte mit einer "Spline" verbinden (kann man daraus denn keine funktion heraus bekommen?)

Doch, aber das ist dann eine abschnittsweise definierte Funktion.

siehe etwa: https://de.wikipedia.org/wiki/Spline-Interpolation#Der_kubische_C2-Spline

Answer 2

Du fragst: " Warum reißt das Polynom anfangs- und am Ende so aus?" ich müsste das auch nachschauen, warum das so ist; ich weiß aber: es ist normal! So eine Polynominterpolation reißt an den Enden fast immer aus, insbesondere dann wenn die Ordnung des Polynoms derart groß ist. Man kann jetzt nicht pauschal sagen, ob so ein Polynom nicht größer als 6. oder 10. Ordnung sein soll, aber 19 ist nach meinen Erfahrungen schon heftig.

Die Frage ist: woher kommen die Daten (sind das Messwerte) sind diese wirklich exakt? Und was willst Du mit der Interpolation erreichen?

Grundsätzlich gibt es zwei Vorgehensweisen:

1. Entweder legst Du Wert darauf, dass die Funktion an den Stützstellen exakt wieder die Werte der Stützstellen annimmt. Dann bietet sich eine Splineinterpolation an. Eine abschnittsweise lineare Interpolaion wäre natürlich auch denkbar.

2. Es existiert ein theoretisches Modell, wie der Verlauf der endgültigen Funktion sein müsste. Und die Stützstellen müssen nicht exakt eingehalten werden. Dann verwendet man dieses Modell und passt die Parameter derart an, dass die Quadrate der Abweichungen bei den Stützstellen minimal wird. (siehe Regression)

Gruß Werner