Fundamentalsystem einer DGl 2.Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten

Question

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem zu

(1-2x)y‘‘+(2x+1)y‘-2y=0 für x<1/2

Tipps: 1)Beachten Sie die Summe der Koeffizientenfunktionen. 2)Unter den Lösungen sind Polynome 1. Grades.

Meine Idee war wegen Tipp2) y=Ax+B anzusetzen und mit Ableitungen in die DGl einzusetzen 

⇒ A=2B ⇒y=2x+1

ist dies soweit korrekt?

Für eine 2 Lösung wollte ich es nun mit der d'alembert Reduktion versuchen aber komme damit irgendwie auf keinen grünen Zweig.

Schon im Voraus danke für eure Hilfe.

Answer 1

Hallo

y=2x +1 ist eine Lösung dieser DGL, das stimmt.

d'Alembert ist richtig.

y₁= 2x+1

y₁ '= 2

y₁''= 0

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allgemein gilt:

y = μ y₁

y ' = μ'y₁+ μy₁'

y '' =μ '' y₁+2 μ' y₁'+μ y₁''

-------------------------------------

y= μ (2x+1)

y'= μ '(2x+1) +2μ

y'' =μ '' (2x+1) +4 μ '

--------------------------------------

eingesetzt in die Aufgabe:

μ '' (1 -4x^2) +μ '(4x^2-5x+5)=0

Substituiere:

w= μ'

w'= μ''

------>

w' (1-4x^2) +w( 4x^2-5x+5)=0 ->Trennung d. Variablen

usw.

Comments

Erstmal Danke für die Unterstützung, ich komme mit Trennung der Variablen aber leider nicht auf das Ergebnis aus der Lösung 

w‘(1-4x^2)+w(4x^2-5x+5)=0

(dw/dx)(1-4x^2)=-w(4x^2-5x+5)

1/(-w)dw=(4x^2-5x+5)/(1-4x^2) dx

dabei entsteht dann eine relativ komplexe Stammfunktion, die sich auch nach Rücksubstitution und erneuter Integration  nicht vereinfacht,  in den Lösungen steht hingegen nur e^x. 

---

So, damit geht es:

w' (1-4x^2) +w( 4x^2-4x+5)=0

-> T.d.Variablen

u'= w= (2x-1)/((2x+1)^2  *e^x *C₁

_{u = C1 e^x/(2x+1) +C2}

_{y= u *y1}

_{y=C1 e^x +C2 (2x+1)}

_:-)