Kurvendiskussion. f(x)=ax^3-x Symmetrie, Nullstelle, Extremstelle und Wendepunkt?

Question

Funktion lautet: f(x)=ax^3-x

Das brauch ich: Symmetrie, Nullstelle, Extremstelle und Wendepunkt

Comments

Was von "Symmetrie, Nullstelle, Extremstelle und Wendepunkt" kannst du denn nicht? 

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Ich hab das nicht verstanden

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Ok, bevor du irgendetwas anderes machst, musst du herausfinden, welche Einschränkungen die Aufgabe bezüglich des Scharparameters a macht. Je nach Ergebnis dieser Untersuchung musst du entscheiden, ob eine Fallunterscheidung notwendig wird oder nicht.

Answer 1

f(x)=ax ^3-x
f ´( x ) = 3a* x^2 - 1
f ´´ ( x ) = 6ax
Nullstelle
ax ^3-x = 0
x * ( ax^2 - 1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
ax^2 - 1 = 0
ax^2 = 1
x^2 = 1/a
x = ± √ ( 1/ a)

Extremstelle
f ´( x ) = 3a* x^2 - 1
3a* x^2 - 1 = 0
3a* x^2 = 1
x^2 = 1 / (3a)
x = ± √  [ 1 / (3a) ]

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 6ax
6ax = 0
x = 0
f(0)=a*0 ^3 - 0 = 0
W ( 0 | 0 )

Bei Bedarf weiterfragen.

Comments

Symmetrie zur y-Achse
f(x) = f ( -x )
a * x^3 - x = a * (-x) ^3 - ( -x )
a * x^3 - x = - a * x ^3  + x
falsche Aussage

Symmetrie zum Ursprung
f ( x ) = - f  ( -x )
a * x^3 - x = - ( - a * x ^3  + x  )
a * x^3 - x = a * x ^3  - x 
stimmt.
Punktsymmetrie zum Ursprung

Answer 2

Symmetrie.

Da ungerade und gerade Exponenten da sind, liegt keine Standardsymmetrie vor.

Nullstellen.

f(x)=ax^3-x

f(x)=x*(ax^2-x)

x₁=0

Das in die ABC-Formel.

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x=\frac{-1\pm 1}{2a}\\$$

Extrempunkte.

notw. Bed.

f´(x)=0

f´(x)=3ax^2-1

3ax^2-a=0

Das wie gerade in die ABC-Formel einsetzten.

Dein A für die Formel ist 3a und dein b ist 0 und dein c ist -1

dann brauchst du die hinreichende Bedingung:

f´´(x) muss größer oder kleiner Null sein.

Ich hoffe, dass das so gemeint ist. Wenn du fragen hast, dann frag. Entweder werde ich diese beantworten oder ein anderes Mitglied.

Smitty

Comments

Es kommen nur ungerade Exponenten vor!

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Hast recht! Sorry

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>  f(x) = ax³ - x
 
f(x )= x * (ax² - x)  ?? 

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f´(x) = 3ax² - 1

3ax² - a = 0   ?? 

Und so etwas löst man einfach nach x² auf und benutzt keine abc-Formel.

Und die Anwort willst du wirklich stehen lassen?

Unter "Bearbeiten" findest du links unten die Möglichkeit "Mache die Antwort zu einem Kommentar". Danach kannst du sie dann löschen!

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Ich kann die nicht mehr bearbeiten. ;(

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Das ist dann echt ein Fehler im System :-) 

Wenn du fleißig weiter antwortest, wirst du zum Moderator "befördert". Dann kannst du unbegrenzt bearbeiten.

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Hallo smitty,
auch wenn du manchmal falsche Antworten
gibts - macht aber nichts. Du bist ja auch im
Forum um was zu lernen.

Hier meine Erklärung der Symmetrie zur
y-Achse

Ich halte einen Spiegel genau auf die y-Achse. Die rechte
Seite ( 1.Quadrant / 4.Quadrant ) wird nach links gespiegelt.
Der Funktionswert bzw. bei x = -3 ist derselbe Funktionswert
wie bei x = 3. Mathematisch
f ( x ) = f ( -x )
f ( 3 ) = f ( -3 )
Dies ist die Symmetrie zur y-Achse.

Wenn wir schon dabei sind. Punktsymmetrie zum Ursprung
Der durch die Achsensymmetrie erzeugte Punkt wird
in diesem Fall noch nach unten  gespiegelt
f ( x ) = - f ( -x )
Beispiel f ( x ) = x^3

Spiegelung an der y-Achse und dann Spiegelung an der
x-Achse.

Zur mathematischen Vorgehensweise siehe meine
Antwort/Kommentar.

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Danke für die Erläuterung, aber an sich ist mir das sogar klar-hatte gestern auch eine schriftliche Abfrage darüber-nur habe ich manchmal extrem blöde Denkfehler, weil ich den Leuten so schnell wie möglich ihre Antwort liefern möchte. 

Die Erklärung von dir war extrem gut, wie nach Lehrbuch

Einen schönen Tag wünsche ich dir noch.

Gruß

Smitty