Zugegeben; ich habe in Wolfram gespickt. Denn ein allgemeines Faktorisierungsverfahren für Polynome gibt es bekanntlich nicht. Wolfram gibt aber nur die Lösung; auf den Trick musste ich schon alleine kommen:
x ^ 4 - 2 x ³ + 2 x ² - ( x ² - 2 x + 2 ) = 0 ( 1a )
Links von der Klammer habe ich einfach ganz frech ein x ² addiert; und in der Klammer musst du selbiges natürlich wieder abziehen. Jetzt ganz trivial faktorisieren:
x ² ( x ² - 2 x + 2 ) - ( x ² - 2 x + 2 ) = 0 ( 1b )
Ich habe also nur x ² ausgeklammert; und plötzlich können wir zusammen fassen, weil du zwei Mal die selbe Klammer hast. Das ist der Trick:
( x ² - 1 ) ( x ² - 2 x + 2 ) = 0 ( 1c )
Damit hast du zwei rationale Lösungen ( +/- 1 ) ( die auf Grund des ===> Satzes von der rationalen Nullstelle notwendig ganzzahlig sein müssen; das hätten wir schon vorher wisseh können. )
Ja und dann lösen wir die quadratische Gleichung
x ² - p x + q = 0 ( 2a )
p = q = 2 ( 2b )
Am Schnellsten löst du sie über den Satz von Vieta
p = 2 Re ( z0 ) ===> Re ( z0 ) = 1 ( 3a )
q = | z0 | ² ===> | z0 | = sqr ( 2 ) ( 3b )
Mittels Pytia und Goras führt uns das auf eine ganze Gaußsche Zahl
z0 ; z0 * = 1 +/- i ( 4 )
