Alle dritten Wurzeln der komplexen Zahl z= ( \frac{1-4i}{-2i} ) ^3

Question

Aufgabe:

Alle dritten Wurzeln der komplexen Zahl

z= (\( \frac{1-4i}{-2i} \))\( ^3\)

berechnen und in Normalform angeben.

Problem/Ansatz:

Könnte jemand diese Aufgabe lösen, habe große Schwierigkeiten damit.

Answer 1

die dritte Wurzel aus z^3 ist einfach z selbst, in Normalform verwandeln : mit i erweitern. wenn es nicht hoch 3 ist muss man in die form z=r*e^iφ verwandeln und daraus die dritte wurzel ziehen  also z^1/3=e^{i(φ+k*2π)/3} mit k=0,1,2

Gruß lul

Comments

Es fehlt der Faktor r^(1/3)?

Answer 2

Hallo,

\(z= \left( \dfrac{1-4i}{-2i} \right) ^3\)

\(z= \left( \dfrac{(1-4i)\cdot i}{-2i\cdot i} \right) ^3\)

\(z= \left( \dfrac{4+i}{2} \right) ^3\)

\(z=(2+0,5i)^3\)

Es gibt drei Lösungen. Die erste ist \(2+0,5i\).

Die anderen beiden

\( -1.43301+1.48205 i \)

und

\( -0.566987-1.98205 i \)

findest du, indem du die erste in die Polarform umwandelst und zum Winkel 120° und 240°, also 2π/3 und 4π/3 im Bogenmaß addierst.

 :-)

Answer 3

Offenbar ist \(\alpha=\frac{1-4i}{-2i}=2+i/2\) eine der Lösungen.

Dann sind \(\alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2\) sämtliche

Lösungen, wobei \(\omega\neq 1\) eine primitive 3-te

Einheitswurzel ist, also \(\omega^2+\omega+1=0\) erfüllt,

Man hat \(\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) und

\(\omega^2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\). Nun berechne

\(\alpha\omega, \alpha\omega^2\)