Hallo Alonso,
Das ist doch eigentlich gar nicht so schwierig. Wenn Du nicht mehr weiter weißt, so skizziere den Graphen der Funktion
$$f(z)=z^4 -7z^3+19z^2-23z+10$$ dafür gibt es hier ganz prima Werkzeuge wie den 'Plotlux-Plotter':
~plot~ x^4 -7x^3+19x^2-23x+10 ~plot~
Dann liegt der Verdacht nahe, dass die Funktion zwei reelle Nullstellen \(z_3=1\) und \(z_4=2\) hat. Die Polynomdivision bestätigt diesen Verdacht.
$$\begin{aligned}(&z^4 &-7z^3 &+19z^2 &-23z &+10) \div (z-1) = z^3 - 6z^2 + 13 z -10 \\ &z^4 &-z^3 \\ && \overline{-6z^3} &+19z^2 \\ &&-6z^3 &+6z^2 \\ &&& \overline{+13z^2} &-23z \\ &&& +13z^2 &-13z \\ &&&&\overline{-10z} &+10\\ &&&&-10z &+10 \\ &&&&& \overline{0}\end{aligned}$$ es bleibt kein Rest, das war schon mal eine Lösung. Und mit \(z_4=2\) erhält man
$$(z^3 - 6z^2 + 13 z -10) \div (z-2) = z^2 -4z + 5$$ mit jeder Polynomdivision reduzierst Du den Grad der Funktion und umso einfacher ist es, weitere Nullstellen zu finden. Hier bleibt eine quadratische Gleichung über. Die pq-Formel liefert
$$z_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 5} = 2 \pm i$$ was mit der oben gegebenen Lösung übereinstimmt.
Der alternative Lösungsweg ist folgender. Gast jc2144 schrieb es schon: "da die Koeffizienten des Polynoms alle reell sind, so ist das komplex konjugierte der gegebenen Lösung auch eine Lösung---> z_2=2-i" Wir haben also bereits zwei Lösungen $$z_{1,2} = 2 \pm i$$ D.h. auch, das Polynom muss durch den Term
$$(z - 2 - i)(z-2+i) = ((z - 2) - i)((z-2)+i) = (z-2)^2 + 1 \\ \space= z^2 -4z +4+1 = z^2 -4z +5$$ teilbar sein (3. binomische Formel). Wieder bringt uns die Polynomdivision weiter:
$$(z^4 -7z^3+19z^2-23z+10)\div ( z^2 -4z +5) = z^2 -3z +2$$ wieder pq-Formel
$$z_{3,4} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac94 - 2}= \frac{3}{2} \pm \frac12$$ $$\Rightarrow z_3 = 2 \quad z_4 = 1$$ Wenn Du Fragen hast, insbesondere zur Polynomdivision, so melde Dich bitte noch mal.
Gruß Werner
