Für die erste Folge soll die explizite Form sein $$a_n = 102 + 8 \cdot n$$ Mit dem Induktionsanfang zeigt man, dass die explizite Form für ein kleines \(n\) das gegebene Folgenglied ergibt. Ich nehme mal \(n=4\). Es ist $$a(n=4) = 102 + 8 \cdot 4 = 134 = a_4$$ das ist richtig. Mit dieser Voraussetzung gehe ich jetzt an den Induktionsschritt. D.h. ich zeige, dass \(a(n+1)\) das richtige Ergebnis liefert, wenn \(a(n)\) richtig ist. Es ist $$a(n+1) = 102 + 8(n+1) = 102 + 8n + 8 = a(n) + 8$$ und das ist die gegeben rekursive Form.
Das war's schon.
$$a_n = 125 \cdot 0,2^n$$ man zeigt wieder, dass die explizite Form für z.B. für \(n=4\) stimmt. $$a(n=4)=125 \cdot 0,2^4 = 0,2 = a_4 $$ stimmt wieder. Der Induktionsschritt: $$a(n+1) = 125 \cdot 0,2^{n+1} = 125 \cdot 0,2^{n} \cdot 0,2 = a(n) \cdot 0,2$$ kommt wieder die rekursive Form heraus. Ist also auch ok.
Gruß Werner
