Berechnen Sie f'(-2) mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^2 -2

a) Berechnen Sie f'(-2) mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0.

b) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle 3 mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0.

c) Beschreiben Sie, welcher Zusammenhang zwischen x0 und f'(x0) besteht.

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle 3 mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0.

Stichworte: ableitung,differenzenquotient,h-methode,änderungsrate

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^2 -2

a) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion an der Stelle 3 mithilfe des Differenzquotienten für h --> 0.

Answer 1

a)

$$\color{blue}{f '(x)}= \lim_{h \to 0} \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } = \lim_{h \to 0} \frac { (x+h)^2-2-(x^2-2) }{ h }$$$$ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }= \lim_{h \to 0} \frac { x^2+2hx+h^2-2-x^2+2 }{ h }$$

$$\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }= \lim_{h \to 0} \frac { 2hx+h^2 }{ h }=  \lim_{h \to 0} \frac { h· (2x+h)}{ h }= \lim_{h \to 0} (2x+h) \color{blue}{= 2x} $$

$$ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } →\text{ }\text{ }\text{ } \color{blue}{f'(-2) = -4}$$b) 

 Tangentensteigung an der Stelle x = f '(x)

$$ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }a)\text{ }\text{ }→\text{ }\color{blue} {f'(3) = 6}$$c) 

f '(x) ist die Steigung von f ( = Steigung der Tangente an f) an der Stelle x

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank für die Lösung dieser Aufgabe! Es war sehr hilfreich und ich habe die Aufgabe jetzt verstanden.

Gruß Nick

Answer 2

f(-2)=2

f(-2+h)=(-2+h)²-2=4-4h+h²-2=2-4h+h²

[f(-2+h)-f(-2)]/h= (2-4h+h²-2)/h=-4+h

Für h=0 ist das -4

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danke:) sehr hilfreich

Answer 3

( f(3+h) - f(3) )    / h

=  ( (3+h)^2 - 2 - ( 9 - 2 )  )  / h 

= ( 9 +6h + h^2 - 2 - 7 )  / h 

=(  6h + h^2  )  / h    im Zähler h ausklammern 

= (   h * ( 6 + h ) )  / h       kürzen

= 6 + h   

Und der Grenzwert für h gegen 0 ist 6.

Also gesuchte Steigung = 6.