Die Aufgabenstellung ist meiner Meinung nach nicht sonderlich eindeutig: Ist gemeint das mindestens 10 Personen an mindestens einem Tag einen gemeinsamen Geburtstag haben, oder dass genau 10 Personen an genau einem Tag gemeinsamen Geburtstag haben? Ich tendiere zum ersten, da die Wahrscheinlichkeit dafür klein genug ist...
\(X\): Anzahl der Personen, die an einem bestimmten Tag Geburtstag haben; binominalverteilte Zufallsvariable mit \(n_x=100\) und \(p_x=\frac{1}{365}\)
\(Y\): Anzahl der Tage, an denen mindestens 10 Leute gemeinsam Geburtstag haben; binominalverteilte Zufallsvariable mit \(n_y=365\) und \(p_y=P(X\ge 10)\)
$$P(A):=P(X\ge 10) = 1- P(X\le 9)\\\begin{aligned}P(Y\ge 1) &= 1-P(Y=0)\\ &= 1- (P(\overline{A}))^{365}\\ &= 1- (1-P(A))^{365}\\&=1-(1-(1-P(x\le 9))^{365}\\&= 1- (P(X\le 9))^{365}\end{aligned}$$
Und an der Stelle komme ich dann auch nicht weiter mit dem Vereinfachen. Angesichts des Ergebnisses das Wolfram für diese Rechnung ausspuckt (\(P(Y\ge 1) = 1.203061180\cdot 10^{-10}\)) bezweifle ich, dass es sich weiter vereinfachen lässt, und die Tatsache, dass Der_Mathecoach mit seinem Näherungsverfahren (!) bis auf die 19. Stelle nach dem Komma das gleiche rausbekommen hat, lässt mich hoffen, dass es soweit richtig war :)
Edit: Beim erneuten Bedenken ist die Frage eindeutig und als "mindestens" und nicht "genau" zu interpretieren.
