Geometrie Rätsel, man landet am richtigen Ziel trotz falschem Ausganspunkt

Question

Aufgabe:

Es handelt sich dabei um ein Geometrierätsel mit folgenden Angaben

1. Der Schatz liegt in der Mitte zwischen VW und VB

2. Geht man von BdO direkt zu HW und dann die gleiche Strecke im rechten Winkel nach rechts, kommt man zu VW

3. Geht man von BdO direkt zu KK und dann die gleiche Strecke im rechten Winkel nach links, kommt man zu VB

4. Egal wo der Punkt BdO liegt, findet man den Schatz, wenn man Schritte 2 und 3 befolgt und dann die Mitte der beiden Punkte betrachtet, auch wenn diese nicht VW und VB sind.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir zur Veranschaulichung eine GeoGebra Datei erstellt, in dem ich das Szenario nachgestellt und auch gezeigt habe, nur finde ich einfach keine Erklärung, warum dies so ist. Ich habe nichts dazu gefunden, dass links hier verboten sind, also hoffe ich mal das geht in Ordnung, wenn ich meine GeoGebra Datei teile.

https://www.geogebra.org/calculator/bra8f4j2

Wie man in der Datei dann sieht, kann man den Punkt BdO verschieben wie man will und landet immer am Ziel, verschiebe ich jedoch einer der Punkte HW oder KK muss ich auch den anderen verschieben, um wieder auf dem Schatz zu landen, aber wie gesagt erkenne ich dabei keinen logischen Zusammenhang der gegeben sein muss, dass ich auf dem Schatz lande, es ist einfach ein zufälliges verschieben meinerseits.

Comments

Hallo

was ist denn HW und KK?

wie sind VB und  VW gegeben?

lul

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1/2*( ((BdO-HW)i + HW)  +  ((BdO-KK)(-i) + KK) )  =  (KK+HW)/2 + i(KK-HW)/2

Answer 1

Hallo,

das ist ein uraltes Rätsel ;-)

Stelle die Vektorgleichung auf, um von einem beliebigen Punkt \(X\) zum Schatz zu kommen. Dazu braucht man noch ein Funktion \(o(v)\) die einen Vektor \(v\) nach links dreht. Es ist$$o\left(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}$$Bem.: da dies eine lineare Abbildung ist, gilt auch$$o(v)+o(u) = o(v+u)$$Eine Rechtsdrehung eines Vektors \(v\) ist dann \(-o(v)\). Damit kann die Position \(P_{Schatz}\) des Schatzes als Vektorgleichung aufgestellt werden$$\begin{aligned} P_{Schatz} &= \frac12\left(P_{VV} + P_{VW}\right) \\&= \frac12\left(P_{HW} - o(P_{HW} - X) + P_{KK} + o(P_{KK} - X)\right)\\ &= \frac12\left(P_{HW} + P_{KK} + o((P_{KK} - X)-(P_{HW} - X)) \right)\\ &= \frac12\left(P_{HW} + P_{KK} + o(P_{KK} - X-P_{HW} + X) \right)\\ &= \frac12\left(P_{HW} + P_{KK} + o(P_{KK}-P_{HW}) \right)\\ &\ne f(X) \end{aligned}$$Die Position ist also nicht vom Startpunkt \(X\) abhängig.

Gruß Werner