Weglänge berechnen (Analysis 2)

Question

stetig diff'barer Weg $$\alpha:[0,4\pi] \to \mathbb{R}² $$ sei gegeben durch $$ \alpha (t)= \begin{pmatrix} e^{(3t)}cos(4t)\\e^{(3t)}sin(4t) \end{pmatrix}$$Berechnen Sie die Weglänge von $$\alpha$$
Meine Lösung
$$\alpha'(t) = e^{(3t)}\begin{pmatrix} 3cos(4t)-4sin(4t)\\3sin(4t)+4cos(4t) \end{pmatrix}$$
$$ ||\alpha'(t)||_2 = e^{(3t)}\sqrt{7}$$
$$ \int_{0}^{4\pi} ||\alpha'(t)||_2 = \sqrt{7} \int_{0}^{4\pi}e^{(3t)} = \frac{1}{3}\sqrt{7}(e^{(12*\pi)}-e^{(0)}$$
stimmt das?

Comments

auf a'(t) komme ich auch
a'(t) = ABS([e^{3·t}·(3·COS(4·t) - 4·SIN(4·t)), e^{3·t}·(4·COS(4·t) + 3·SIN(4·t))])

Aber jetzt habe ich einen anderen Betrag
|a'(t)| = 5·e^{3·t}
Was bedeutet der Index 2 an deinem Betrag?

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Das ich die euklidische Norm benutze

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$$||.||_2 = \sqrt{x²+y²}$$ und dann die cos²sin² zusammen ziehen zu 1

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Ach stimmt da bleibt unter der Wurzel dann 

3^2+4^2=25=5^2 stehen 

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Stimmt! hab vergessen die Faktoren zu quadrieren

Answer 1

Damit kommst du dann auf eine Länge von

∫(5·e^{3·t}, t, 0, 4·pi) = 5/3·(e^{12·pi} - 1) = 3.930·10^16

Answer 2

 

ja das stimmt. Du hast nur beim Integral das dt vergessen.

Edit: war doch nicht alles richtig, siehe Kommentar oben !

Answer 3

  Was ich voll doof finde; warum der nach Außen spiraliert. Dieses Integral konvergiert doch nie. Warum du komplex rechnen solltest. Mit Euler lautet deine Kurve

      z  (  t  )  =  exp  (  3  +  4  i  )  t     (  1  )

    Die Länge berechnest du jetzt zu

                                  4 Pi  

     L  (  t  )        =         $      sqr  ( dz/dt )  ( dz * / dt )   dt  =       (  2a  )

                                    0

            4 Pi  

       =    $       sqr   ( 3 + 4 i ) exp ( 3 + 4 i ) t * ( 3 - 4 i ) exp ( 3 - 4 i ) t   dt  =  ( 2b )

             0

          4 Pi

   =      $      sqr  [   |  3  +  4  i  |  ²  exp  (  6  t  )  ]  dt  =         (  2c  )

           0

          4 Pi

    =     $           sqr  (  25  exp  (  6  t  )  ]  dt    =      (  3a  )

           0

                    4 Pi

     =   5         $           exp  (  3  t  )  dt   =   ( 5/3 )  [  exp ( 12 Pi )  - 1 ]      (  3b  )  

                     0

    Hier kennste den?

  " Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt über die komplexe Ebene. "

Comments

Danke für den interessanten Ansatz aber das ist mir wohl doch dann ein wenig zu "komplex" :)

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  Bist du Matematiker? Dann musst du eh noch die Funktionenteorie hören. Oder Injenschör?  Weil der Euler gehört einfach zum Standardwissen. Und du sollst ja z.B. auch komplexe Ansätze für DGL beherrschen.

   Du musst dir doch z.B. nur klar machen, dass Ansatz ( 2a ) korrekt ist; man macht es ja nur, weil man sich mit diesem Ansatz eine Menge Arbeit spart und weniger Fehler macht.