Gegeben sind drei Punkte. Stelle die Funktionsgleichung dazu auf

Question

ich bin mir eigentlich sicher, dass meine Vorgehensweise richtig ist, aber an irgendeiner Stelle muss ich etwas falsch machen:

Gegeben sind die Punkte

A(1/-1)   B(2/3)   C(-2/23)

f(x) = ax²+bx+c

 I   f(1) = 1a + 1b + c = -1

II   f(2) = 4a + 2b + c = 3

III  f(-2) = 4a -2b + c =23

    

     II - I

3a - 1b = 4

  III - I

3a - 3b = 24

III - II

3a - 3b = 24

6a - 2b =   8

Jetzt habe ich zwei Unbekannte. Und nun?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo Kristin,

I    f(1)  =  1a + 1b + c = - 1

II   f(2)   =  4a + 2b + c =  3

III  f(-2)  =  4a - 2b  + c = 23  

Bevor man losrechnet sollte man sich die Gleichungen genau ansehen.
Hier rechnet man am einfachsten

II - III     →    4b = - 20  →  b = - 5  

II - I     →   3a + b = 4  →  3a - 5 = 4  →   3a = 9  →  a = 3

a,b in I einsetzen →   3 - 5 + c = -1  →  c = 1

f(x) = 3x² - 5x + 1 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Meine Berechnung:

Comments

Hallo Großer Löwe,

vielen Dank erst einmal. Ich bin aber doch etwas verwundert, denn laut meinen Aufzeichnungen gilt noch  III - 2*II. Das finde ich bei Dir nicht. Ich  habe es gerechnet und kam nicht weiter, weil dann zwei Unbekannte da waren. Warum konntest Du denn auf III - 2*II verzichten?

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ich habe mir mal Deinen Weg angeschaut.

Das Gleichungssystem ist das Gleiche, wie ich auch habe.

bei II -I erhalte ich:

3a+b=4

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Vielen Dank,  ich habe den Fehler gefunden. Ich dachte, man muss in jedem Fall

die dritte Gleichung mit zwei multiplizieren, weil ich das bei einer Aufgabe so im Heft

stehen habe.

Answer 3

f(1) = 1a + 1b + c = -1
II  f(2) = 4a + 2b + c = 3 

II minus I

hier ist leider schon der erste Fehler

4a - 1a + 2b - 1b = 3 +1
3a plus 1b = 4

Du hast  - 1b. falsch

Hier noch ein allgemeiner Tip wie man
ein lineares Gleichungssystem durch
Reduzierung der Unbekannten löst.

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

1a + 1b + c = -1  | * 4
4a + 2b + c = 3  | * 1

4a + 4b + 4c = -4 
4a + 2b + c = 3  | abziehen
--------------------
4b+ c - ( 2b + 4c ) = -4 - 3
4b+ c - 2b - 4c  = -7
2b -3c = -7

Dasselbe für II und III durchführen.

Dann hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Wiederum durchführen.

Vorteil : funktioniert immer und man muß
sich keinen dicken Kopf machen.

Comments

Hallo Georg,

vielen Dank für Deine Rechnung. Ich aber muss leider zugeben, dass ich hier versehentlich -1b geschrieben habe. Tatsächlich habe ich hier zu Hause aber + 1b stehen.

Ich meine jetzt zu wissen, wo mein genereller Denkfehler lag: Ich dachte, man muss grundsätzlich 2* III rechnen, weil ich das bei einer Beispielaufgabe so im Heft stehen habe. Das ist, wie ich Deiner Rechnung und der vom Großen Löwen entnehmen konnte, aber nicht der Fall.

Ich werde morgen gleich noch ein paar Übungsaufgaben machen um zu sehen, ob ich das jetzt richtig verstanden habe.

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Hallo Georg,

ich musste doch noch mal gleich eine Aufgabe rechnen. Sieht gut aus (abgeglichen mit plotlux)

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Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von a der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

Bei solchen Gleichungssystemen, die aus Einsetzen in eine Polynomfunktion entstehen, erhält man immer ohne jedes Multiplizieren zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, wenn man direkt subtrahiert, weil c dann herausfällt.

Hier bleibt nach II - III sogar nur b stehen.