Komplexe Wegintegrale

Question

Zu lösen sind die folgenden komplexen Wegintegrale:

$$(a) \int_\gamma \frac{Im(z)}{z}dz \;\; für \;\; \gamma(t) = e^{it},\; t \in [0,\pi]$$

$$(b) \int_\gamma \frac{sinh(e^{iz})+cos^2(z)}{e^{z^2}}dz \;\; für \;\; \gamma(t) = \pi e^{it}, \; t \in [0,2\pi]$$

$$(c) \int_\gamma \frac{sin(z)}{z^2 +1}dz \; \; für \; \; \gamma(t) = 2e^{it}, \; t \in [0,2\pi]$$

$$(d) \int_\gamma \frac{z-3}{(z^2 - 9)z}e^{\frac{1}{1+z}}dz \;\; für \;\; \gamma(t) = \frac{1}{2}e^{it}, \; t \in [0,2\pi] $$

Mir geht es nicht unbedingt um die endgültige Lösung sondern um den Weg dorthin. Ich bitte daher eher um einen ausführlichen Weg als nur das Ergebnis, damit ich anhand dessen das ganze nachvollziehen kann.

Comments

b) , c) und d) sind geschlossene Wege. Schaue, ob im Inneren "Senken" liegen .... inkl. weitere Voraussetzungen zur Vereinfachung von Integralen über geschlossene Wege erfüllt sind. Ein entsprechender Satz in deinen Unterlangen oder allenfalls auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#Wegunabhängigkeit könnte dir dann weiterhelfen. 

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Dass die Wege geschlossen sind, erkennt man doch anhand des Intervalls [0,2pi] Bedeutet dies dann, dass das Ergebnis 0 ist? Wäre das nicht zu einfach?

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Vielleicht, aber vielleicht auch nicht.

Siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz

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bei c) und vielleicht auch b) könnte das so passen mit 0. Du musst die Voraussetzungen für die 0 genau prüfen.

d) hat wohl bei z=0 eine "Senke" im Innern des Gebiets.  [Sagt dir dieser Begriff etwas? Oder wie bezeichnet ihr ausgezeichnete Stellen innerhalb des Gebiets] Liegen z= 3 und z = -3 ausserhalb des Kreises?

EDIT: jc2144 hat dir den besseren Link gerade angegeben. 

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Ist ein Weg geschlossen, so ist das Integral darüber nur Null, falls die Funktion holomorph ist. Siehe dafür Cauchy's integral theorem.

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Hast du das in diesem Link nicht gefunden? https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz ?

Wirst du eventuell aus https://www.mathelounge.de/454741/komplexe-wegintegral-berechnen auch noch schlau?

Answer 1

Verwende einfach die Definition des komplexen Wegintegrals für $$\gamma \colon [a,b] \to \mathbb{C}$$ $$ \int_{\gamma} f(z) \, \mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, \mathrm{d}t $$

Also zum Beispiel für (a) $$ \int_{\gamma} \frac{Im(z)}{z} \, \mathrm{d}z = i \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{Im(e^{it})}{e^{it} } \cdot e^{it} \, \mathrm{d}t =  i \cdot \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, \mathrm{d}t  = -i(\cos(\pi) - \cos(0)) = 2i.$$

Bedenke dabei $$e^{it} = \cos(t) + i \sin(t).$$