Wie berechne ich Wegintegrale?

Question

Hallo :)

Ich verstehe folgende Aufgabe leider nicht:

Und zwar möchte ich das Wegintegral $$\int _{ \gamma  }^{  }{ \bar { z }  } dz$$ von -1 bis 1 von Kurven bestimmen:

(i) entlang der reellen Achse und
(ii) entlang eines Halbkreises mit positivem Imaginärteil.

z ist meiner Kenntniss nach eine komplexe Zahl mit z = a+ib

Nun weiß ich leider nicht wirklich wie ich an die Sache dran gehen soll. Mir kommt irgendwie der Gedanke, dass ich die entsprechenden Kurven parametrisieren muss und dann davon das Wegintegral lösen soll. Aber was hat das dann mit $$\bar { z } $$ auf sich? Oder ist das erst für (ii) interessant, weil dabei ja komplexe Zahlen verwendet werden?

Meinen Unterlagen habe ich folgendes entnommen:

$$\int _{ \gamma  }^{  }{ \bar { z }  } dz=\int _{ -1 }^{ 1 }{ f(\gamma (t))\cdot \dot { \gamma (t) } dt }  $$

Wäre das denn ein richtiger Ansatz?

Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte :)

Comments

Ist die erste Aufgabe nicht einfach das Integral von -1 bis 1 auf x, was =0 ist?

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Das habe ich mich auch gefragt, weil die reelle Achse ja die x-Achse ist. Aber da ist ja das Integral, was eine Kurve verlangt :)

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Z quer ist die komplex konjugierte zu z

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Konjugation an reellen Zahlen ändert doch nichts, bezüglich der (i)

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Ja bei der (i) ändert das nichts.

Bei der (ii) kannst du mit z=γ(t)=cos(t)+i*sin(t), t∈[0,2π] parametrisieren.

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Upps ich meine  t∈[0,π], soll ja nur ein Halbkreis sein :)

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Ich habe beide Wege ausgerechnet und bekam für beide 0 heraus? Stimmt das? Dann würde ich meinen Rechenweg posten.

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Bei der Variante (ii) komme ich auf i*π :

$$ \int_{0}^{π}(cos(t)-i*sin(t))*(-sin(t)+i*cos(t))dt=\int_{0}^{π}[-sin(t)*cos(t)+i*cos^2(t)+i*sin^2(t)-i^2*sin(t)*cos(t)]dt=\int_{0}^{pi}i*dt=i*π$$

Ich hab das Integral aber von 1 bis -1 berechnet, da müsste also noch ein Minuszeichen davor.

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Vielen Dank Euch allen :D

Also wäre die (i) dann?: $$\int _{ \gamma  }^{  }{ \bar { z } dz } =\int _{ -1 }^{ 1 }{ (x-i\cdot 0) } dx=\frac { 1 }{ 2 } \cdot { 1 }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } \cdot { \left( -1 \right)  }^{ 2 }=0$$
Die (ii) verstehe ich leider nicht so ganz. Wieso kann man einfach sagen, dass z=γ(t)=cos(t)+i*sin(t), t∈[0,π] ist? Weiß man einfach, dass das einen Halbkreis darstellt oder muss man noch irgendwas berechnen, um auf diese Kurvendarstellung zu kommen? Und woran erkennt man, dass hier das Integral von 1 bis -1 berechnet wurde und nicht von -1 bis 1 bzw. warum berechne ich zuerst das Integral von 0 bis Pi? Also wie kommt man darauf, dass 1 bis -1 "das Gleiche" wie von 0 bis Pi ist? :)

Answer 1

γ(t)=cos(t)+i*sin(t), t∈[0,π] ist eine bekannte Darstellung des Kreises in der komplexen Zahlenebene, dass ganze kann man sich graphisch überlegen, bzw. aus der Gleichung z=r*e^{i*t}=r*[cos(t)+i*sin(t)]. 

Algebraische Form <-> Exponentialform <-> Polarform. In deinem Beispiel ist der Radius r=1. Die Polarform stellt halt genau einen Kreis dar, wobei t∈[0,2π] für eine Vollkreis und hier  t∈[0,π] für einen Halbkreis oberhalb der reellen Achse. Um die neuen Integrationsgrenzen festzustellen, setzt du die Integrationsgrenzen -1 und 1 in die Parameterdarstellung ein 

-1=[cos(t)+i*sin(t)]--> Vergleich Real und Imaginärteil: t=π

1=[cos(t)+i*sin(t)]-->t=0

Ich hab bei meiner Rechnung vorhin die Integrationsgrenzen vertauscht, weil es üblich ist bei solch einer Rechnung im mathematisch positiven Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn den Kurvenverlauf zu wählen.

Das richtige Ergebnis lautet also -i*π (Vertauschen der Grenzen gibt ein Minus als Vorzeichen)

Comments

Achso vielen Dank :D

Besser kann man es glaube ich nicht erklären :D
Ich sollte soweit alles verstanden haben :D

Auf den "Trick" mit der Darstellung des Kreises in der komplexen Ebene muss man erstmal kommen. Ich habe das zwar schon Mal gesehen, aber wäre da jetzt bestimmt nicht einfach so drauf gekommen :D
:D