Ich bin überzeugt, einen Hochschulprof würden diese Steckbriefaufgaben schier zur Weißglut treiben; wie willst du bei typischen 4 Unbekannten noch ===> schlechte Konditionierung ausschließen?
Das wohl berühmteste Gegenbeispiel; für ein Polynom 2 . Grades reichen drei Bedingungen - demkt sich die Jugend so in ihrem Leichtsinn. also wähle ich
f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; f ' ( x3 ) ( 1 )
Du bist ja noch jung und experimentierfreudig; spiel das mal durch. Geht besonders schön auf einem TR , der LGS beherrscht. Das kann nämlich schief gehen, muss aber nicht.
Der ===> Mittelwertsatz ( MWS ) der Differenzialrechnung sagt ganz typisch, dass es in dem Intervall ( x1 ; x2 ) einen Punkt x3 gibt, wo die Tangente, also die Ableitung f ' ( x3 ) parallel verläuft der Kurvensehne von x1 nach x2 . Zu allem Überfluss gilt für Parabeln wörtlich
x3 = 1/2 ( x1 + x2 ) ( 2 )
ein Trick, den ich mir hier bei Steckbriefaufgaben immer zu Nutze mache.
Und das ist genau die schlechte Konditionierung; so lange x3 weit weg liegt von ( 2 ) , ist alles gut. Aber je näher du ( unabsichtlich ) diesem kritischen Punkt kommst, desto singulärer wird dein LGS .
Bücher über nummerische Matematik erkennen nur ganz spezielle Fragestellungen an; so definiert etwa ein Slalom aus ( n + 1 ) Punkten eindeutig ein Polynom n-ten Grades.
Der Beweis stammt von ===> Lagrange; Lagrangepolynome. Z.B. definiere ich L1
( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - x4 )
L1 ( x ) = ---------------------------------------------- ( 3a )
( x1 - x2 ) ( x1 - x3 ) ( x1 - x4 )
und analog für die drei anderen Polynome L2;3;4 . Wie du siehst, folgt dann eine Art Ortogonalitätsbeziehung
L_i ( x_j ) = DELTA ( i ; j ) ( 3b )
wobei " DELTA " das ===> Kronecker Delta bedeutet. Aus ( 3ab ) folgt erst mal Existenz der Zerlegung; wir haben explizit vier ===> Basispolynome konstruiert, aus denen sich jedes ( kubische ) Polynom zusammen kleistern lässt, das durch vier vorgegebene Punkte verläuft. Und jetzt noch eindeutigkeit; angenommen es gäbe zwei verschiedene Lösungen.
f1 ( x ) = a3 x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 4a )
f2 ( x ) = b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0 ( 4b )
subtraktionsverfahren ( 4a ) - ( 4b )
f3 ( x ) := f1 ( x ) - f2 ( x ) = ( a3 - b3 ) x ³ + ( a2 - b2 ) x ² + ( a1- b1 ) x + a0 - b0 ( 4c )
Da nach Voraussetzung f1 und f2 verschieden angenommen wurden, kann f3 nicht das ( identisch verschwindende ) Nullpolynom sein. Die vier Knoten x1;2;3;4 müssen aber, da ja beide, ( 4a ) wie ( 4b ) als Lösungen angenommen wurden, WURZELN von ( 4c ) sein - Widerspruch.
Kein Polynom 3. Grades kann vier Nullstellen haben.
Daher kann ich dich beruhigen; dein LGS ist gut konditioniert; " well-behaved "
