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Ich habe hier eine Beispielaufgabe wo ich mir bei der Berechnung der Grenzwerte der hebbaren Lücke und der Berechnung der Grenzwerte allg. nicht ganz im klaren bin.
Ich habe die Funktion
$$ f\left( x \right) =\frac { (-x²-2x+35)(x-5) }{ (x+12)²(x+7)(x-10) } $$
welche ich mit Hilfe der pq-Formel in Linearfaktoren zerlegt habe:
$$ f\left( x \right) =\frac { -(x-5)²(x+7) }{ (x+12)²(x+7)(x-10) } $$
Daraus erkenne ich meine folgenden Definitionslücken:
Polstelle bei x = -12 ohne Vorzeichenwechsel da eine gerade Potenz vorhanden ist.
Polstelle bei x = 10 mit Vorzeichenwechsel da eine ungerade Potenz vorhanden ist.
Hebbare Lücke bei x = -7 da sich der Term (x + 7) sowohl im Zähler als auch in Nenner wiederfindet und somit gekürzt werden kann.
Desweiteren habe ich noch im Zähler meine Nullstelle x = 5 ohne Vorzeichenwechsel aufgrund der gerade Potenz.
Nun zu meiner eigentlichen Frage:
Kann ich nun hingehen und aus meiner gekürzten Version
$$ f\left( x \right) =\frac { -(x-5)² }{ (x+12)²(x-10) } $$
den Grenzwert bei meiner hebbaren Lücke berechnen oder muss ich generell immer x ausklammern?
Die gleiche Frage stellt sich mir dann auch bei dem allg. Grenzwert der Funktion.
$$\lim _{ x\rightarrow -7 }{ f(x=-7)\frac { -(-7-5)² }{ (-7+12)²(-7-10) } } =0,34$$
oder
$$\lim _{ x\rightarrow -7 }{ f(x=-7)\frac { \cdot (-1)x(1-{ 5 }/{ x })² }{ x(1+{ 12 }/{ x })²x(1-{ 10 }/{ x }) } } =\quad 0,34$$
In diesem Fall ist die Lösung die selbe aber welche Variante ist (auch für den allg. Grenzwert) "die richtige"?
Vielen Dank und beste Grüße!
