Ich habe selber eine Frage zur Primzahlfunktion. Die Kernaussage, die man immer liest: Die Zetafunktion gestatte sie abzzuschätzen; von Daher ist man ja bestrebt, die Riemannsche Vermutung zu beweisen.
Aus der Spektrum erfuhr ich von dem Algoritmus, mit dem es schon im 19. Jh. dem Astronomen und Hobbymatematiker Meißel gelang, den Wert der Primzahlfunktion auf jedem Intervall exakt anzugeben. Frage; wie macht der das? Wer kann mir das erklären?
Und im Telekolleg trug Albrecht Beutelspacher die nicht triviale Aussage vor, dass sich in jedem Intervall ( n ; 2 n ) eine Primzahl befindet.
Du sagst, die Menge der Primzahlen ist unendlich. Aber von der Menge der Primzahlzwillinge ist das bis Heute noch nicht gezeigt. Wir wissen auch, dass die Primzahlreihe divergiert:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 .... ( 1a )
Ich bin jetzt nicht der Reihenspezialist; aber rein auf Grund des Integralkriteriums müsste sie das ja. Dagegen die Reihe der Primzahlzwillinge konvergiert, obwohl wir noch nicht wissen, ob es überhaupt unendlich viele Zwillinge gibt.
( 1/2 + 1/3 ) + ( 1/3 + 1/5 ) + ( 1/5 + 1/7 ) + ( 1/11 + 1/13 ) + ( 1/17 + 1/19 ) + ( 1/29 + 1/31 ) + ..... ( 1b )
Eine Entdeckung, die glaube ich auf Fermat zurück geht. Das ist einer der Zahl reichen Sätze, für die die 2 die berühmte Ausnahme-Primzahl darstellt.
" Alle Primzahlen sind ungerade. "
Eine ungerade Zahl, insbesondere eine Primzahl kann mod 4 nur ( +/- 1 ) ergeben. Und wenn ich eine Zahl quadriere, dann kriege ich mod 4 entweder ( +/- 1 ) ² = 1 oder 0 ² = 2 ² = 0 D.h. mod 4 ist die Summe zweier Quadratzahlen nur die Werte 0 , 1 und 2 ergeben. Von Daher ist klar, dass eine Primzahl = ( - 1 ) mod 4 niemals darstellbar sein kann als Summe zweier Quadratzahlen. Fermat nun hat die Umkehrung gezeigt; alle Primzahlen mit -rest ( + 1 ) sind darstellbar als Summe von zwei Quadratzahlen.
Eine ähnliche Aussage wie Fermat; sie stammt aus der Matheolympiade. Du hast vier Zahlen a , b , c , d > 0 € |N ; und es möge gelten
a d = b c ( 2 )
Behauptung; die Summe ihrer Quadrate ( a ² + b ² + c ² + d ² ) kann dann niemals prim sein. Ich hab mir mal einen Beweis ausgedenkt. Schreiben wir ( 2 ) als Bruch.
a / b = c / d ( 3 )
Jetzt sind Brüche stets zu kürzen; d.h. aus ( 3 ) folgt, es gibt A ; B , k1;2 > 0 , so dass gilt
a / b = c / d = A / B ( 4a )
a = k1 A ; b = k1 B ( 4b )
c = k2 A ; d = k2 B ( 4c )
a ² + b ² + c ² + d ² = ( k1 ² + k2 ² ) ( A ² + B ² ) ( 5 )
Damit haben wir aber eine nicht triviale Zerlegung der Quadratsumme angegeben, weil ja jede Klammer mindestens den Wert 2 hat.
Dann kam mal in der Matheolympiade folgende Fragestellung:
" Beweisen Sie, dass es nur endlich viele Primteiler gibt, so dass die Periode fünfstellig ist. "
Alle Schüler beschränkten sich auf einen abstrakten kombinatorischen Existenzbeweis; da ihnen offenbar noch nicht bewusst war, dass periodische Dezibrüche nichts weiter sind als Georeihen, gelang mir eine Entdeckung auf konstruktivem Wege. Betrachte mal die " Neunerfolge "
a < n > := < 10 ^ n - 1 > = < 9 , 99 , 999 , 9 999 , ... > ( 6 )
Dann behaupte ich: Zu jeder Primzahl p ( Ausnahme 2 und 5 , die Teiler der Basis 10 ) gibt es ein Glied a [ n ( p ) ] der Neunerfolge, das teilbar ist durch p .
Ende des 20. Jhs. entdeckte übrigens irgendso ein Ami: Zu jeder Primzahl p gibt es eine aritmetische Folge, deren erste p glieder prim sind.
Hast du dich übrigens mal mit Gruppenteorie befasst? Bereits zum Anfängerwissen gehört ja bereits die Aussage, dass es für ° G = prim nur die eine zyklische Gruppe gibt.
Und 1958 kam der ganz große Durchbruch; welche ungeraden einfachen Gruppen gibt es? Nur wieder die Primgruppen.
Deine Fermatzahlen 2 ^ n + 1 haben übrigens nur den aller schlechtesten Ruf; die hängen nämlich zusammen mit den unseligen Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen. Ein Regel mäßiges n-Eck ist genau dann konstruierbar mit Zirkel und Lineal, wenn
n = 2^m ( 2^k + 1 ) ( 7a )
In dem 2^m-Faktor steckt natürlich der Umstand, dass es möglich ist, jeden Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren. Aber dieses n-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn der Klammerausdruck prim ist. Notwendige Voraussetzung; es muss wiederum gelten
k = 2 ^ r ( 7b )
so dass du nacheinander die Zahlen kriegst
Dreieck ( r = 0 ) ; Fünfeck ( r = 1 ) ; 17-Eck ( r = 2 ) bzw. 257-Eck ( r = 3 )
Das Kuriosum; bis Heute ist ungeklärt, ob es noch weitere r geschweige unendlich viele gibt, für welche diese Folge prim ist.
Fermat gelang es ja, eine bestimmte Klasse von Primzahlen darzustellen als Summe von quadratzahlen. Viel berühmter dürfte ja Goldbach sein, bei dem die Medien immer unken, eines Tages könne sich vielleicht erweisen, dass Goldbach unentscheidbar ist im Sinne von Kurt Gödel; hast du übrigens das Kultbuch gelesen von Douglas Hofstädter; " GEB " ?
Für solche Vermutungen habe ich nur ein müdes Grinsen übrig; um dich aber in meine Argumentation vertiefen zu können, müsstest du dir mal rein ziehen
" Non-Standard Analysis " von Alain Robert bei Wiley. Neueste Ausgabe selbstverständlich bei Aamazon. Du wirst sehen, dass der Verfasser auch vor humoristischen Karikaturen nicht zurück schreckt; der Stoff ist freilich schwer genug.
Meine Argumentation wird dir zeigen, das die NSA den Durchbruch in der Zahlenteorir bringenwird - etwas, was Edward Nelson so nie beabsichtigt hat.
Auch eine CPU kann ich idealisieren; ich stelle mir einfach vor: Die größte auf meinem Rechner darstellbare Zahl ist n0 = Nonstandard. Dann kann ich doch ein Basicprogramm Gold_Bach ( i ) schreiben, das für jedes gegebene i in einer vorhersehbaren Anzahl von assemblerschritten entscheidet, ob Gold_Bach ( i ) wahr ist oder nicht. Freilich lassen sich solche Algoritmen immer optimieren; aber das ist nicht unser Problem.
FOR index = 4 TO n0 STEP 2
IF NOT Gold_Bach ( index ) THEN
PRINT " die Ausnahmezahl beträgt " ; index
STOP
END_IF
NEXT index
PRINT "Goldbach bewiesen"
Jener häufig geäußerte Einwand, endlich viele Tests würden nicht ausreichen, ist von der Substanz her falsch. Aus Nelsons Transferaxiom ergibt sich nämlich, wenn es überhaupt ein Gegenbeispiel gibt, so auch immer schon ein Standard Beispiel, das also in den Rahmen dieser Schleife fällt.
Man mag einwenden, jene Zahl n0 liege " jenseits des Ereignishorizonts " Erinnern wir uns an den Vierfarbenbeweis; kann die Matematik maschinelle Bwise noch anerkennen?
Abermals über Transfer folgt, da wir ja bewiesen haben, dass es überhaupt eine Entscheidungssoftware gibt. Dann gibt es auch immer eine mit kleinster Anzahl von Assemblerschritten. Und aus Transfer folgt eben, dass es ein Programm von Standard Länge gibt.
Diese Frage ist ja schon verschiedentlich aufgetaucht; lässt sich abschätzen, wie kompliziert ein Beweis mindestens ist?
