Verständnisfrage zum Vereinfachen mit Hilfe der binomischen Formeln

Question

Einen guten Morgen wünsche ich Euch,

aktuell beschäftige ich mich mit der Thematik der binomischen Formeln und komme, im Gegensatz zu meiner Schulzeit, auch recht gut mit dem Thema zurecht.

Binomische Formeln berechnen sowie vereinfachen hat bisher recht gut funktioniert, nur verstehe ich einen Rechenschritt beim Vereinfachen der Ausdrücke nicht weiter.

Ich rechne die Aufgabe zwar richtig, weil ich mir das Schema nun gemerkt habe, verstehe aber nicht so recht, weshalb ich diesen Schritt unternehmen muss.

Anbei die Aufgabe, welche ich gerechnet habe:

(2x+5y)²-(4x-3y)²

Zunächst muss ich die beiden binomischen Formeln (a+b)2 sowie (a-b)² berechnen.

Das sieht dann wie folgt aus:

(4x²+20xy+25y²) - (16x²-24xy+9y²)

Auch diese Rechnung wird vorgenommen, woraus folgendes Ergebnis resultiert:

-12x²+44xy+16y²

Nun komme ich zu dem Schritt, welchen ich zwar rechnen kann, aber nicht weiß, wieso ich so rechnen muss:

Der gemeinsame Teiler beträgt 4, entsprechend kommt die 4 vor die Klammer und die Summanden werden durch 4 geteilt.

Sodass folgendes Ergebnis zustande kommt: -4(3x²-11xy-4y²)

Nun meine Frage: Wieso kommt die Vier vor die Klammer? Selbes gilt laut Skript für das Ausklammern mit Hilfe von binomischen Formeln.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, die Lampe zum Leuchten zu bringen :)

Angenehmen Wochenstart wünsche ich Euch!

Answer 1

Hi,

das hat nichts mehr mit den binomischen Formeln zu tun. Hier hat man einfach ausgeklammert. Man hat erkannt, dass 4 ein gemeinsamer Faktor aller Summanden ist und hat ihn dann vorgezogen.

Das macht es eventuell einfacher weitere Vereinfachungen etc zu sehen.

Zwingend notwendig ist der Schritt hier nicht.

Grüße

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Das ergibt nun in der Tat wesentlich mehr Sinn als zuvor.

Also kann ich, auch wenn ich mit Hilfe der binomischen Formeln einen Ausdruck ausgeklammert habe, anschließend ausklammern, sofern ein gemeinsamer Faktor vorhanden ist?

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Das beschränkt sich nicht nur auf die binomischen Formeln, sondern gilt allgemein. Bspw bei Brüchen ist das sehr sinnvoll, da man oft noch kürzen kann.

Im obigen Bsp kann man aber so keinen größeren Nutzen ziehen. Deswegen ist das Ansichtssache. Mir gefällt es besser, wenn man ausklammert, da man direkt sieht, dass ein weiteres Anwenden der binomischen Formel nicht möglich ist etc. Das aber kannst Du auch gerne anders sehen ;).

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Vielen lieben Dank für die Erläuterung!

Da die Uni das genauso sieht wie du, bleibe ich vermutlich besser dabei, nach Möglichkeit auszuklammern :-)

Answer 2

(2x+5y)^{2}-(4x-3y)^{2}

= ((2x+5y)-(4x-3y)) * ((2x+5y)+(4x-3y))

= (8y-2x) * (2y+6x)

= 4 * (4y-x) * (y+3x).

Ich habe, was hier möglich und sinnvoll ist, im ersten Schritt mit der dritten binomischen Formel faktorisiert. Im zweiten Schritt habe ich ein wenig zusammengefasst und im letzten jeweils den Faktor 2 aus den beiden Klammern herausgehoben. Das Ergebnis ist offensichtlich einfacher und in den meisten Fällen auch nützlicher als die ausmultiplizierte Form.

Answer 3

Da es um eine Übung zur 3. binomischen Formel geht, hätte man (2x+5y)²-(4x-3y)² auch als a²-b² verstehen können und so weiter rechnen können: ((2x+5y)+(4x-3y))((2x+5y)-(4x-3y))=(6x+2y)(-2x+8y) und so weiter