Beweis Logarithmusgleichung? log_(a)b * log_(b)a = lg 10

Question

Zeigen Sie, dass für a,b ∈ \ {1} gilt: log_ab * log_ba = lg 10

Wie mache ich das? Danke euch schonmal im Voraus.

Answer 1

hast Deine Log-Gesetzlichkeiten schon mal durchgesehen

\(log_a b = \frac{ln b}{ln a}\)

Answer 2

log_a(b)=x also (1) a^x=b

log_b(a)=y also (2) b^y=a

Setze (2) in (1) ein: b^xy=b oder xy=1

Auch lg(10)=1.

Answer 3

Hallo

 ersetze log_a  und log_b durch lg=log_10

 nach der Regel $$log_c(x)=\frac{log_d(x)}{log_d(c)}$$

hier d=10, c = a oder b.

übrigens lg10=1 wegen log_a(a)=1

Gruß lul

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Danke für deine Hilfe :)

Answer 4

$$ log_ab * log_ba = y\\a^{log_ab * log_ba}=a^y\\(a^{log_ab})^{log_ba}=a^y\\b^{log_ba}=a^y\\a=a^y\\y=1=lg(10) $$

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Danke für deine Hilfe :)