Summenformel: Umformung nachvollziehen

Question

ich habe hier folgende Formel dessen nächsten Schritt ich nicht verstehe:

$$\sum _{ j=1 }^{ ({ log }_{ 2 }n)-1 }{ { 2 }^{ j } } +\quad { 2 }^{ ({ log }_{ 2 }n)-1\quad  }$$

wird zu:

$${ 2 }^{ { log }_{ 2 }n }-2\quad \quad +\quad \frac { n }{ 2 }$$

Was wurde hier gemacht?

Bin für Tipps und Lösungen dankbar!

Answer 1

Hallo

1. Summe der geommetrischen Reihe, da die aber bei j=0 anfangt noch 2^0 abziehen.

 2. $$a^{log_a(b)}=b$$ ist die Regel für log, da a^x di Umkehrfunktion von log_a(x) ist.

d.h, $$ 2^{log_2(n)−1}=n*1/2$$

Gruß lul

Answer 2

Der log₂(n) ist je nach Wahl von n ein reelle Zahl a. Setze also log₂(n)=a. Dann hast du die Summe einer geometrischen Reihe mit a-1 Gliedern und zusätzlich (a-1)·2^a-1.