Vollständige Induktion mit Iduktionsannahme

Question

Aufgabe:

 

Induktionsanfang?

Induktionsannahme?

Induktionsschritt?

Answer 1

Hallo muck,

Du meinst wahrscheinlich

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}$$ mit einem \(n\) im Zähler! Induktionsanfang ist doch einfach: setzt \(n=1\) und prüfe, ob die Annahme stimmt:

$$\sum_{k=1}^1 \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2\cdot 1 + 1}$$ das stimmt. Und mit der Annahme, dass es für \(n\) richtig ist, mache den Schritt von \(n\) nach \(n+1\). Es ist

$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} $$ $$\begin{aligned} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}              \\ &= \frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}                \\ &= \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}     \\ &= \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}    \\ &= \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}      \\ &= \frac{n+1}{2(n+1)+1}   \end{aligned}$$ q.e.d.

Comments

Ja, sorry ist natürlich "n"

Danke für die Antwort

Answer 2

Induktionsanfang:Für k=1  ist 1/3=1/3

Induktionsannahme: Die zu beweisende Formel gilt für ein bestimmtes n.

Induktionsbehautung: Unter der Voraussetzung der Induktionsannahme: gilt die zu beweisende Formel auch für n+1

Beweis: Addiere in der Annahme auf beiden Seiten  den nächsten Summanden und zeige, dass die rechte Seite das Gleiche ergibt, wie 1(2n+1)+nächster Summand.

Answer 3

   So hektografierte Formeln pflegen ja zu stimmen. Aber irgendwas  geht da schief.   Deinen Bruch schreibe ich

     f  (  k  )  =  1 / ( 4  k  ²  -  1  )      (  1  )

    f  (  1  )  =  1 /  (  4  -  1  )  =  1/3    ;  ok     (  2  )

    f  (  2  )  =  1 / (  4  *  2  ²  -  1  )  =  1/15     (  3a  )

   f ( 1 ) + f ( 2 )  =  1/3  +  1/15  =  (  5  +  1  ) / 15  = 2/5   (  3b  )

     Laut deiner Formel wären aber nur Stammbrüche zugelassen.

Comments

So hektografierte Formeln pflegen ja zu stimmen

Ausnahmen bestätigen die Regel! \(1/(2n+1)\) muss falsch sein, da dieser Term mit wachsenden \(n\) immer kleiner wird, und die Summe immer größer ...

siehe meine Antwort.