xn = (1-1/n) ∑(k=1 bis n) (1/k^4) Untersuchen Sie ob diese Folge konvergiert

Question

a) Zeigen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass ∀ n∈Ν gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 4 } }  } \le 2-\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } $$

b) Sei die Zahlenfolge $${ ({ x }_{ n }) }_{ n=1 }^{ \infty  }$$ gegeben durch

$${ x }_{ n }=\left( 1-\frac { 1 }{ n }  \right) \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 4 } }  }$$ Untersuchen Sie, ob diese Folge konvergent ist, und geben Sie im Fall der Konvergenz eine Abschätzung(nach oben und unten) für den Grenzwert an.

Es geht mir um den b) Teil der Aufgabe. Um die Konvergenz  von xn zu zeigen würde ich erst die Monotonie machen und dann den Grenzwert von Teil a) 2-(1/n^2) ausrechnen, um so auf die Beschränktheit von xn zu schließen.

Aber was ich nicht verstehe ist die Abschätzung nach oben und unten für den Grenzwert. Kann mir das jemand bitte erklären?

Answer 1

Wenn du die Monotonie schon hast, ist der Rest vielleicht so:

wegen a) gilt für alle n≥1   x_n ≤ ( 1 -1/n) * ( 2 - 1/n^2 ) ≤  1*2 = 2

Also ist 2 eine obere Schranke für alle Folgenglieder und damit auch

für den Grenzwert.

Da alle positiv sind, ist 0 eine untere Schranke.

Comments

Ist es auch möglich ( 1 -1/n) * ( 2 - 1/n2 )  in Betrag zu setzen und dann nach oben abzuschätzen? Hätte man dann nicht die obere und untere Schranke? In der Aufgabe steht ja "eine Abschätzung(nach oben und unten)".