Reihe ∑(sin n)/(n^2) Konvergiert? (mit Lösungsansatz)

Question

Frage: Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
∑_n=1∞(sin n)/(n²)

Mein Lösungsansatz:
1. Abschätzung:
(n/2)/n² < (sin n)/(n²)
- wobei (n/2)/n² = (n/2) x (1/n²) = n/2n² = 1/2n
- nach dem majoranten/minorantenkriterium gilt (bei Reihen): a_n < b_n und a_n divigiert, so divigiert auch b_n.
Die Reihe a_n mit a_n = 1/2n divigiert, somit divigiert auch die Reihe ∑_n=1∞(sin n)/(n²)

Diese Lösung ist nach dem Korrigierer falsch, da die Abschätzung nicht für alle gilt.

Ich solle die Abschätzung nach oben machen:
(sin n)/(n²) < n/(n²)
Doch ist n/(n²) = 1/n. Die Reihe mit 1/n (Harmonische Reihe) divigiert. Für b_n > a_n sagt mir die divergenz von der Reihe 1/n nichts über die divergenz/konvergenz der Reihe ∑_n=1∞(sin n)/(n²).

Answer 1

Wie siehts denn mit einer Abschätzung nach oben durch :
∑1/(n^2)

aus?
 Bzw. eventuell,da auch negative Glieder vorhanden sind eine Abschätzung nach unten durch
∑ -1/(n^2)

Comments

Für die Abschätzung haben wir nur folgendes definiert:
$$ \frac{1}{2} x < sinx < x $$

sinx kann aber nie den Wert größer als 1 haben, also ist diese Abschätzung möglich.

Das würde bedeuten:
$$ \frac{sin n}{n^2} < \frac{1}{n^2} $$

Die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}  $$ konvergiert. Somit konvergiert auch die Reihe $$\sum_{n=1}^\infty \frac{sin n}{n^2} $$

Vielen Dank, wäre nicht auf so eine Abschätzung gekommen.

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Aha und wo ist jetzt der Beweis?

-n < 1/n^2

heißt das

$$ \sum_{n=1}^{\infty} -n $$

konvergiert auch?

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Nein für -n funktionniert das Majorantenkriterium nicht, da die Beträge der folgen verglichen werden. Es geht hier um absolute konvergenz.

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Herzlichen Glückwunsch.

Answer 2

die Abschätzung

$$\frac{ \frac{n}{2}}{n^2} < \frac{sin(n)}{n^2} $$

ist schlicht weg falsch.

Die Abschätzung nach oben, die du beschreibst bringt dir hier rein gar nichts.

Hinweis zur Lösung: Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert. Dann konvergiert sie auch.

Gruß

Comments

Für die Absolute Konvergenz gibt es diese Möglichkeiten:
1. Wurzelkriterium: $$ \overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|} > 1 $$
2. Qutientenkriterium: $$ \underline{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| $$

Keine von diesen beiden Kriterien scheint mir hier angebracht.

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Ist denke ich mal im Prinzip das selbe,wie in meiner Antwort.

Du bildest den Betrag und schätzt dann wieder genauso ab.

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Genau du nimmst dir als Abschätzung:

\( | \frac{sin(n)}{n^2} | < \frac{1}{n^2} \)

Reihe konvergiert absolut und dadurch konvergiert sie auch.

Blindes Kriterien abstampfen bringt dich nicht wirklich weiter.