Wie finde ich eine geeignete Reihe? (Majoranten-, Minorantenkriterium)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert: \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{(n+2) !}{5^{n+1} \cdot n !} \)

Meine Frage ist, ob ich die Konvergenz von \( \frac{n!}{5^(n+1) *n!} \) (5^(n+1))  zeigen kann, und dann mithilfe des Majorantenkriteriums argumentieren kann, dass die oben angegebene Reihe auch konvergieren muss.

Ich habe generell Probleme, bei der Wahl einer geeigneten Reihe, wenn es um Majoranten- oder Minorantenkriterium geht. Gibt es dafür eine gute Herangehensweise?

Vielen Dank!

Comments

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{(n+2)!}{5^{n+1}\cdot n!}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(n+1)(n+2)}{5^{n+1}}<\sum_{n=2}^\infty\frac{2^{n+1}\cdot2^{n+1}}{5^{n+1}}=\sum_{n=2}^\infty\left(\frac45\right)^{n+1}.$$

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gelöschttttttttttttttttttttt

Answer 1

Wieso mit Majorante?

Der Ausdruck hinter der Summe ist umgeschrieben:
$$\frac{(n+2)(n+1)}{5^n*5}$$ jetzt kannst du das Wurzelkriterium verwenden

also den limes für n gegen unendliche der nten Wurzel der Folge in der Summe betrachten.

Dann ist das 1*(1/5) das ist kleiner als 1 also Konvergiert die Reihe :), weil die nte Wurzel aus einem Konstanten Ausdruck 1 wird.

Answer 2

Für den umgeschriebenen Ausdruck $$\frac{(n+2)(n+1)}{5^n*5}$$ ist auch das Quotientenkriterium geeignet. Es entsteht der Quotient $$\frac{(n+3)}{5(n+1)}$$ welcher für n=1 den Maximalwert 0,4 annimmt.