Beispiele zur Majoranten- und Minorantenkriterium

Question

Hallo, ich wollte fragen, ob ihr Beispiel Aufgaben zum Majoranten- und Minorantenkriterium geben könntet.

Answer 1

Ok, divergiert oder konvergiert diese Reihe?

Summe von n=0 bis unendlich mit der Folge

a) n/(n^3+5)

b) (n^2+6)/(3n^3-4)

c)  7n^5/(n^6-4n^5+2n^3)

Comments

bei a) habe ich \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \frac{n}{n³+5} \)  = \( \frac{n}{n³} \) = \( \frac{1}{n²} \) raus bekommen, da es eine Harmonische Reihe ist, divergiert die Reihe

aber ich weiss leider nicht wie ich bei b) und c) vorgehen soll...

---

a) ist leider falsch. Die Reihe konvergiert, denn

n/(n^3+5) ist größer gleich n/n^3 und das ist gleich 1/n^2. Die Reihe mit 1/n^2 ist zwar eine harmonische, aber wenn der Exponent von n im Nenner 2 oder größer ist, dann konvergiert die Reihe. Bei b und c sollst du abschätzen, da würde ich das Video (ungefährer Titel) "Majorantenkriterium mit 3 Beispielen" vom Youtuber "Mathepeter" empfehlen.

---

Okay, Dankeschön. Also wäre \( \frac{1}{n} \) eine Harmonische Reihe, welches divergiert und \( \frac{1}{n²} \) oder \( \frac{1}{n³} \)  eine Harmonische Reihe, welches konvergiert.

---

Ja, das stimmt.

Answer 2

\(\begin{aligned} \forall n \ge 1\colon \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}\end{aligned} \)
und somit divergiert \(\begin{aligned} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\end{aligned} \) da \(\begin{aligned}\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\end{aligned}\) bekanntlich divergiert.