Konvergenz der Reihe ∑ (k= 0 bis ∞) 5k/(k³+2)

Question

ich würde gerne die Reihe ∑ (k= 0 bis ∞) 5k/(k³+1) auf Konvergenz prüfen, da es eine Beispielaufgabe zur Klausurvorbereitung ist. Ich habe zuerst geschaut ob es sich um eine Nullfolge handelt und dann ob parallelen zur harmonischen/ geometrischen Reihe bestehen aber nichts gefunden. Dann hab ich das Quotientenkriterium angewandt jedoch blieb dieses unschlüssig (Woran hätte ich erkennen können, dass ich mit dem Quotientenkriterium hier nicht weiter komme, würde mir in der Abreit viel Rechnerei ersparen) nun bin ich also davon überzeugt, dass sich die Reihe mit dem Majorantenkriterium behandeln lässt. Leider haben wir noch nicht allzu viele konvergierende Reihen behandelt und ich habe dementsprechend auch nicht gerade ein Arsenal von Reihen bei denen ich weiß, dass sie konvergieren. Welche Reihe bietet sich hier an?


Zusatzfrage: Wie kommt man auf eine solche Reihe? Wir dürfen Spickzettel mit in die Arbeit nehmen (2 Din A4 Blätter) sollte ich mir ein paar Reihen aufschreiben die konvergieren bzw. divergieren?

Comments

Das ist für grössere k ungefähr die Summe von 5/k^2. Darauf aufbauend sollte man eine konvergente Majorante basteln können.

Vgl. auch: https://www.mathelounge.de/15619/reihe-konvergenz-zeigen-durch-majorantenkriterium-∑-2n-3-1

EDIT: Soll es nun ∑ (k= 0 bis ∞) 5k/(k³+1) oder ∑ (k= 0 bis ∞) 5k/(k³+2) sein?

Kommt eigentlich nicht gross drauf an.

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Mhm also wenn wir hier ab n=1 starten würde könnte ich 5k/(k³+2)<=5/k²

Und 5/k² = 5*1/k² und da ich die 5 raus ziehen darf dann gemäß der Definition der harmonischen Reihe konvergent. Nur das geht ja leider nicht, also muss dann vermutlich 5/(k²+1) verwendet werden oder?


Edit: Sry ja das zweite ist korrekt, kleiner Flüchtigkeitsfehler, also ∑ (k= 0 bis ∞) 5k/(k³+2) soll es sein

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Du brauchst ja eine konvergente Majorante.
∑ 1/k^2 ist das. Das ist aber keine harmonische Reihe sondern einfach eine bekannte konvergente Reihe.

Den (endlichen) Anfang einer Reihe musst du nur auf Definiertheit der Summanden prüfen. Der kann ja nicht unendlich sein. Interessant ist immer erst die unendliche Summe nachher.

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Ich hatte bezüglich der harmonischen Reihe da drauf angespielt:

Weil sich das ja durch das raus ziehen des Faktors 5 mit 5/k² ergeben würde. Muss die Reihe nicht am selben Punkt starten, also bei k=0? Dann wäre die Reihe doch an der Stelle k=0 nicht definiert und damit nicht lösbar?

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Aha. Ok. Wenn ihr das so definiert habt.... Ich kenne den Begriff 'harmonische Reihe' wie die Wikipedia als den Fall mit a=1: https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe

Zum Anfang der Summe habe ich dir oben schon was notiert.

Answer 1

Wie wär das mit dem Majorantenkriterium

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium

5·k/(k^3 + 2) ≤ 5·k/k^3 = 5/k^2

Dort kennst du die Konvergenz oder?

Comments

Das Kriterium habe ich doch vorgeschlagen :D

Ich verstehe nur noch nicht ganz warum ich 5/k² verwenden darf, da diese Reihe mit k=0 bis unendlich ja an der Stelle 0 nicht definiert wäre. Darf das einfach so außen vor gelassen werden?

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Du kannst ja die Summe von 1 bis unendlich bilden. Die Konvergenz oder Divergenz wird nicht über das erste Glied der Reihe bestimmt sondern über die letzten (unendlich vielen).

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Also darf ich das generell einfach so machen? Das wäre natürlich super, dann hätte ich gleich ein paar Probleme weniger. Die restlichen Kriterien finde ich nämlich eigentlich ganz angenehm und da sieht man meist auch sofort, dass sie sich anbieten (Wurzel Kriterium zum Beispiel wenn alles zur n-ten Potenz genommen wird etc)

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∑ (k = 0 bis ∞) 5k/(k³ + 2) = 5*0/(0³ + 2) + ∑ (k = 1 bis ∞) 5k/(k³ + 2) = ∑ (k = 1 bis ∞) 5k/(k³ + 2)

Hier sind die beiden Reihen sogar Wertgleich.

Aber würde ein Summand ungleich Null am Anfang etwas an der Konvergenz oder der Divergenz ändern.

Answer 2

a_k = 5k/(k³+1)

Die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium (sogar absolut), denn wegen

0 ≤  5k/(k³+1) ≤ 5k/(k³) = 5/(k²)

können wir die Reihe über b_k := 5/(k²) als  konvergente Majorante finden.

Es gibt verschiedene Kriteria, um die Konvergenz von Reihen zu bewerten. Hierzu verweise ich auf eine Seite http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in2/ss04/aufgaben/hmin2_loesung07.pdf