Untersuche ∑^{∞}_(n=1) sin(1/n) auf Konvergenz mit Vergleichskriterium

Question

Man soll die Reihe ∑∞_n=1  sin(1/n)  mit dem Vergleichskriterium also Majoranten- oder Minoranten -Kriterium auf Konvergenz untersuchen. Wie macht man das ? Die Reihe geht von n=1 bis ∞ (sieht bisschen komisch aus oben).

für die Hilfe.

Comments

Hinweis: Verwende die harmonische Reihe.

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ja das habe ich mir auch gedacht, ich weiß die harmonische reihe divergiert, aber was bringt mir das?? Inwieweit kann ich das vergleichen?

Wenn n gegen unendlich geht dann steht da sin (1/n) und das ist ja dann sin (0)=0.

komme nicht weiter.

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Wenn n gegen unendlich geht dann steht da sin (1/n) und das ist ja dann sin (0)=0.
Naja gilt das nicht auch für 1/n? 
Du kannst zum Bsp. versuchen \(\sin(x) \) für \(x \in (0,1] \) nach unten abzuschätzen. Zum Bsp. durch eine lineare Funktion in Form einer Geraden.

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sollen, das aber mit dem majorantenkriterium bzw. minoantenkrieterium machen...

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Und wo ist da jetzt der Widerspruch, um so ein Kriterium anzuwenden brauchst du was zum Vergleichen das bedeutet du brauchst eine Abschätzung. 

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ok, geht nicht anders und einfacher vielleicht ?

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Was heißt "einfacher"? Das ist schon ein ziemlich einfacher Ansatz. Alternativ kannst du dir ja überlegen was

$$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $$

ist und die Erkenntnis daraus verwenden. Wobei ich nicht der Meinung bin, dass dies "einfacher" ist, allerdings auch nicht wirklich "schwerer".

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das wäre doch dann cos(x)/1 nach Lhopital und somit 1

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Ja.                                               

Answer 1

Da $$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin\left(  \frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=1$$

hat man dass $$\sin \left(  \frac{1}{n}\right) \sim_{\infty} \frac{1}{n}$$

Da die harmonische Reihe divergiert, kommen wir zum Ergebnis dass die gegebene Summe auch divergiert.

Comments

Schön, dass du Englisch kannst.... http://math.stackexchange.com/questions/446096/does-the-series-sin1-n-from-1-to-infinity-converge

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Asymptotik ist manchmal etwas schwurbelig. Lieber einfach sagen: \(\sin{1\over n}>{1\over2n}\) für fast alle n. Dann braucht man auch keine Fremdsprachen koennen.

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danke evinda, #Yakyu hat immer was zu meckern