Konvergenz einer Reihe: Σ(1/2 + 1/n)^n (Vergleichskriterium)

Question

Wie kann ich die Konvergenz der Reihe Σ(1/2 + 1/n)^n (für n > 0) mithilfe des Vergleichskriteriums nachweisen? Insbesondere frage ich mich, wie man die Reihe schrittweise geeignet (händisch) nach oben hin abschätzen kann, um das Majorantenkriterium anwenden zu können.

Answer 1

Σ(1/2 + 1/n)ⁿ (für n > 0)

= (1/2 + 1) + (1/2 + 1/2) + Σ(1/2 + 1/n)ⁿ (für n > 2)

≤  (1/2 + 1) + (1/2 + 1/2) + Σ(1/2 + 1/3)ⁿ   (für n>2) 

≤  (1/2 + 1) + (1/2 + 1/2) + Σ(5/6)ⁿ     (für n> 2) 

<  (1/2 + 1) + (1/2 + 1/2) + Σ(5/6)ⁿ     (für n≥0)

 =   (1/2 + 1) + (1/2 + 1/2) + 1/(1-5/6)       ist eine endliche Zahl q.e.d. 

Comments

Gibt es eine Möglichkeit (1/2 + 1/n)^n nach oben hin abzuschätzen, sodass etwas in der Form 1/a^b entsteht und damit also gilt: 0 <= (1/2 + 1/n)^n <= 1/a^b ?

Idealerweise ist dann b > 1 und damit die (allgemeine harmonische) Reihe Σ1/a^b konvergent. Nach dem Majorantenkriterium ist dann auch die Reihe Σ(1/2 + 1/n)^n konvergent.

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Gibt es eine Möglichkeit (1/2 + 1/n)ⁿ nach oben hin abzuschätzen, sodass etwas in der Form 1/a^bentsteht und damit also gilt: 0 <= (1/2 + 1/n)ⁿ <= 1/a^b ?

Das habe ich doch eigentlich gemacht.  

Allerdings musste ich die ersten beiden Summanden aussen vor lassen. Da es eine endliche Anzahl ist und die Summanden endlich sind, ist das aber kein Problem. 

Meinst du das jetzt so: 

0 ≤ (5/6)ⁿ   = 1/(6/5)^n   ?