Goniometrische Gleichung auflösen. 0.5 • tanα = sin2α

Question

Ich habe ein allgemeines Problem bei den goniometrischen Gleichungen, wozu ich bisher keine schlaue Erklärung gefunden habe. Wenn ich eine goniometrische Gleichung nach dem Winkel auflösen soll, vergesse ich oft einige Winkel, welche noch in die Lösungsmenge gehören. 
Folgende Gleichung als Beispiel:
0.5 • tanα = sin2α
Zu meiner Lösung zählte ich die Winkel 0°; 60°; 180°; 300°; 360°
Korrekt wäre aber: 60°; 120°; 240°; 300°
Wieso ist z.B. 0° hier falsch? Wenn ich 0° in die Gleichung einsetze erhalte ich 0 = 0, das sollte doch au korrekt sein?
Und wie erhalte ich alle Lösungen? Ich habe die Gleichung nach cosα und erhielt am Schluss 0.5 = cosα und daraus 60° und 300°. 

Answer 1

Das kann eigentlich nur am Definitionsbereich liegen.

Wenn da steht zwischen 0° und 360° ,

gehören streng genommen 0° und 360° nicht dazu. Ansonsten sind 0° und 360° definitiv Lösungen der Gleichung, die du hingeschrieben hast.

0.5 • tanα = sin2α  | ich schreibe im Folgenden x

0.5 * sin x / cos x = 2 sin(x)*cos(x)        | x ≠ 90°, 270° .... Musst du gegebenenfalls am Schluss rausstreichen!

sin(x) = 4 sin(x) * cos^2(x) 

sin(x)  - sin(x) * 4cos^2(x) = 0

sin(x) (1 - 4 cos^2(x)) = 0

sin(x) ( 1 - 2cos(x)) (1 + 2cos(x)) = 0

Nullprodukt. 

sin(x) = 0 → x1, x2,...

cos(x) = 1/2 -----> x3, x4, 

cos(x) = - 1/2 → x5, x6, 

90° und 270° rausstreichen, falls sie als "Lösungen" rauskommen sollten (dürfte nicht der Fall sein).

Comments

~plot~ 0.5 * tan ( x ) ; ( sin(x) )^2 ; [[ 0 | 6.2832 | 0 | 1 ]] ~plot~ 

@Lu
die Schreibweise ist wohl mehrdeutig

Prinzipiell
sin2a = sin (2 ) * a
da nicht geklammert wurde

Möglich
sin2a = [ sin ( a ) ]^2
und
sin2a = sin (2a)

---

Danke für den Graphen. Warum nimmst du sin^2(x), wenn sin(2x) dasteht?

~plot~0,5*tan(x);(sin(2x));[[-1|7|-2|2]]~plot~