Goniometrische Gleichung cos(x) = -1/2 * tan(x) lösen

Question

Ich stehe vor der goniometrischen Gleichung "cos(x) = -1/2 * tan(x)" diese soll in den reellen Zahlen gelöst werden:

Mein Ansatz:

Es soll ja so sein, dass auf beiden Seiten das selbe Ergebnis ist. Also z.B. "0 = 0"

deshalb Fall 1.) : cos(x) = 0   , das wäre bei 90° also : PI/2 + k* PI

Fall2: -1/2tan(x) = 0 , das wäre bei 0° : 0 + k * PI

aber was ist den jetzt die Lösungsmenge??

Und haben die goniometrischen Gleichungen auch einen anderen Namen, denn Google spuckt nicht viel aus.

Danke

Answer 1

Starthilfe:

$$ \cos(x) = - \frac12 \, \cdot \tan(x) $$
$$ \cos(x) = - \frac12 \, \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$
$$ \cos^2(x) = - \frac12 \, \cdot \sin(x) $$
$$1 - \sin^2(x) = - \frac12 \, \cdot \sin(x) $$
$$\cdots$$
$$\cdots$$
$$\cdots$$

Comments

weiter dann:

-sin^2(x) + 1/2sin(x)+1 = 0

x1= -0,780 

x2 = 1,280 

oder doch 

-sin^2(x) + 1/2sin(x)+1 = 0

sin(x)(-sin(x) + 1/2) = -1

Fall1) sin(x) = -1

x = 270°

Fall2) -sin(x) + 1/2 = 1

-sin(x) = 1/2

x = 30°

aber bei beiden ist wieder eine verschiedene Lösungsmenge (+ die Probe passt nicht)...

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$$1 - \sin^2(x) = - \frac12 \, \cdot \sin(x) $$
$$\cdots$$
$$1 = \sin^2(x)  - \frac12 \, \cdot \sin(x) $$
$$0 = \sin^2(x)  - \frac12 \, \cdot \sin(x) -1$$
$$S = \sin(x) $$
$$0 = S^2  - \frac12 \,S -1$$
$$0 = S^2  - \frac12 \,S +\left( \frac 14 \right)^2 -\left( \frac 14 \right)^2 -1$$
$$0 = \left(S- \frac 14 \right)^2 - \frac 1{16} -\frac {16}{16}$$
$$ \left(S- \frac 14 \right)^2 = \frac {17}{16}$$
$$ S _{1,2}- \frac 14  = \pm \sqrt{\frac {17}{16}}$$
$$ S _{1,2}- \frac 14  = \pm \frac {1}{4}\sqrt{17}$$
$$ S  _{1,2}  = \frac 14\pm \frac {1}{4}\sqrt{17}$$
$$ S  _{1}  = \frac 14+ \frac {1}{4}\sqrt{17}$$
grösser als 1 - kann kein Resultat aus der Sinusfunktion sein - arcsin nur definiert für Argumente
$$ - 1 \le a \le 1$$
$$ S  _{2}  = \frac 14- \frac {1}{4}\sqrt{17}$$
$$ S  _{2}  = \frac 14 \cdot (1- \sqrt{17})$$
$$ x= \arcsin (\frac 14 \cdot (1- \sqrt{17}))$$
$$ x= -51,3317175 ° + k \cdot 360°$$
$$ k\in \mathbb{Z}$$
entspricht für den Hauptwert auch:
$$308,6682825°$$
Achtung!!! Es gibt noch einen zweiten Hauptwert beim arcsin.
$$ x_2= 231,3317175 ° + k \cdot 360°$$