Konvergenz der Reihe 1/n! per konvergenten Majorante: ∑_(n=0)^{∞} 1/2^{n-1}

Question

Hi,

ich möchte gerne zeigen dass ∑_n=0^∞ 1/n! konvergiert mit der Majoranten 1/2^n-1 .

Meine Frage ist jetzt wie ich zeige, dass die Reihe ∑_n=0^∞ 1/2^n-1 konvergiert.

Das Monotonie oder Cauchy Kriterium könnte ich ja genausogut auf 1/n! anwenden und nicht mir erst eine Majorante suchen.

Comments

Geometrische Reihe schon gehabt?

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ja, aber 2^{1-n} erfüllt ja q^n mit |q| < 1 gar nicht.

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$$ \frac{1}{2^{n-1}} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n$$

*Ibuprofen such*

Answer 1

∑_n=0^∞ 1/2^n-1 konvergiert.

Ist im Wesentlichen die geo-Reihe mit q=1/2

Comments

Echo...

Answer 2

2^n-1 ≤ n!   gibt

1/n! ≤   1/2^n-1         =  (1/2) ^n-1  

also ist die geo-Reihe mit q=1/2 eine konvergente Majorante.