Reihen absolute Konvergenz Majorante

Question

Aufgabe: Eine etwas allgemeiner formulierte Frage: ggb. Reihe ∑a_n=∑1/(n^2-1): Um absolute Konvergenz von einer Reihe ∑a_n mit dem Majoranten-Kriterium zu zeigen, versuche ich gerade die Reihe ∑a_n nach oben gegen 1/n^2 abschätzen, da ich von der weiß, dass die Reihe ∑1/n^2 (also die Majorante) konvergiert. Stünde im Nenner n^2+1 wäre das kein Problem für mich, da ich durch das Kleinermachen vom Nenner direkt nach oben abschätzen könnte. Ich komme aber, warum auch immer, nicht darauf wie ich die Differenz nach oben abschätzen kann...

Danke schonmal für die Hilfe!

Answer 1

Betrachte die Reihe mit (n-1)^2 im Nenner von n=2 an.

Und (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 < n^2 -2n < n^2 -1

Also ist 1/(n-1)^2 > 1/(n^2-1) und du hast die konvergente

Majorante.

Answer 2

mathef war schneller, aber vielleicht noch als Alternative.

Hallo,

mach Dir das Leben einfach und schätze großzügig ab: Für \(n>1\) gilt \(1 < 0.5n^2\), also für diese n:

$$\frac{1}{n^2-1}<\frac{1}{n^2-0.5n^2}=\frac{2}{n^2}$$

Das reicht für den Konvergenznachweis auf diesem Weg

Gruß Mathhilf