Reihe auf absolute Konvergenz absolute Konvergenz untersuchen: ∑(2k+1)/(k³+3k²+1), ∑(k!)/(3k+1 )

Question

Aufgabe:

Untersuche, die folgende Reihe auf absolute Konvergenz und begründe jeweils, weshalb die Reihe konvergent bzw. nicht konvergent ist.

∞
∑(2k+1)/(k³+3k²+1)
k=0

∞
∑(k!)/(3^k+1 )
k=0

Könnte jemand mir erklärend folgende Aufgabe für die beiden Reihen rechnen?

Comments

Tipp. a) Konvergente Majorante der Form a/k^2 basteln.

Answer 1

a) konvergiert nach dem Majorantenkriterium

b) k!/3^{k+1} ist keine Nullfolge, somit divergiert die Reihe

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danke, ich habe eine Frage von wo weiß ich ob eine Folge absolut konvergiert oder nur konvergiert?

Das Kriterium ist wie folgt |ak|<=c*bk c>0  was muss ich wo einsetzen?

Und wie zeigt man dass b) keine Nullfolge ist ?

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Bei b kannst du z.B nutzen:

$$ \frac { k! }{ { 3 }^{ k+1 } }=\frac { k(k-1)(k-2)...(1) }{ 3*3*3*...*3 }\\>=\frac { 1 }{ 3 }\frac { 3*2*1 }{ 3*3*3 }=\frac { 2 }{ 27 } $$

und demzufolge handelt es sich nicht um eine Nullfolge. Alternativ geht auch das Quotientenkriterium.

Die Konvergenzkriterien wie Majorantenkri., Quotientenkrit. und Wurzelkriterium ermöglichen ein Untersuchen auf absolute Konvergenz. Da hier alle Summanden positiv sind ist normale Konvergenz und absolute Konvergenz das Gleiche, man kann die Kriterien normal anwenden.

Hat man Reihen, bei denen auch negative Summanden auftreten, muss man zwischen normaler Konvergenz und absoluter Konvergenz unterschieden.

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und zu a)  ????

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Das hat doch Lu schon oben beschrieben, eine Majorante der Form a/k^2 bauen.

$$ \frac { 2k+1 }{ k^3+2k^2+1 }<\frac { 2k+k }{ k^3+2k^2+1 }<\frac { 2k+k }{ k^3}\\=\frac { 3 }{ k^2 } $$

Die letzte Reihe konvergiert, also konvergiert auch die  Ausgangsreihe