ln Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihe

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln \left(e^{n}+2\right)} \)

auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Ansatz/Problem:

Ich habe die Folgenglieder gerechnet und herausbekommen, dass die Reihe Alternierende ist und glaube, dass die Grenzwert bei 0 ist. Wie kann ich jetzt auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen? (Rechenweg)

Answer 1

Es ist die Folge mit a_n =ln( e^n + 2) monoton steigend gegen +∞.

Also wird durch  1/( e^n + 2)  eine monoton fallende Folge gegen 0

gegeben. Mit dem (-1)^n entsteht also eine alternierende Folge für

Summanden der Summe, die für die Konvergenz zu betrachten ist.

Nach Leibniz-Kriterium konvergiert sie also.

Für die absolute Konvergenz beachte, dass für alle n>0  gilt

    n+1 > ln( e^n + 2) > n

somit gilt    1/( e^n + 2)  > 1/ (n+1)

und wegen der Divergenz der harmonischen Reihe, divergiert diese

auch.